Sai số nội suy.

Với x∈[a,b] ta ước lựong sai số f(x) – L_n(x), trong đó x cho trước.

Đặt ω_n(t) = (t-x₀) (t-x₁) ..(t-x_n)

Rõ ràng nếu x không bằng mốc nội suy thì ω_n(x)≠ 0, nên tìm được hằng số k để:

f(x) – L_n(x) = k ω_n(x) (2.7)

Xét hàm số:

F(t) = f(t) - L_n(t)-k.ω_n(t) (2.8)

Hàm này có n+2 nghiệm phân biệt t=x_i (i=0;n) và t=x; Bằng phương pháp quy nạp chúng ta có thể chứng minh được rằng tồn tại điểm c ∈[a,b] sao cho F⁽ⁿ⁺¹⁾ (c)=0. Vì L_n là đa thức bậc n nên có thể tính đạo hàm cấp (n+1) biểu thức (2.8). Ta có:

F(n+1)(c) = f(n+1) (c) – 0 – k (n+1) =0

Vậy $k=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}$. Thay giá trị của k vào (2.7) ta được:

$f(x)-L_n(x)=f^{(n+1)}(c)\frac{{\omega }_n(x)}{(n+1)!}$ (2.9)

Điểm c thay đổi khi x thay đổi. Nếu đạo hàm cấp (n+1) của f bị chặn: |f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)| ≤M với ∀x ∈[a,b] thì ta có ước lượng sai số nội suy là:

trên đây được gọi là đa thức nội suy Lagrange.

Đa thức nội suy với mốc cách đều.

Ta xét trường hợp đặc biệt khi các mốc nội suy cách nhau một đoạn bằng nhau:

Δx_i= x_i+1 – x_i = h = (b-a) /n (với i=0; n-1)

Dùng phép đổi biến (x – x₀)/h = t, các đa thức $L_n^k(x)$sẽ là các đa thức theo t và chỉ phụ thuộc vào số mốc n và có nhiều cách biểu diễn đơn giản, dễ sử dụng hơn.