Cho F = {AC → B, C → B, ABDE → GH, A → E, A → D}

+ Xét phụ thuộc hàm AC → B:

Rõ ràng thuộc tính A trong AC → B là dư thừa vì C⁺ = (CB) $$ B.

+ Xét phụ thuộc hàm ABDE → GH

• Thuộc tính A : Không dư thừa vì (BDE)⁺ = BDE không chứa GH
• Thuộc tính B : Không dư thừa vì (ADE)⁺ = ADE không chứa GH
• Thuộc tính D: Dư thừa vì (ABE)⁺ = ABDE có chứa ABDE

( Loại thuộc tính D khỏi phụ thuộc hàm ABDE → GH ta được ABE → GH

+ Xét phụ thuộc hàm ABE → GH

• Thuộc tính E: Dư thừa vì (AB)⁺ = ABDE $$ ABE

+ Các thuộc tính trong các phụ thuộc hàm còn lại đều không dư thừa.

Cuối cùng ta được tập phụ thuộc hàm không có thuộc tính dư thừa gồm:

F = {C → B, AB → GH, A → E, A → D}

Cho F = {A → B, B → C, A → C, B → DE, A → E, A → D}

+ Kiểm tra xem A → B có dư thừa hay không bằng cách : Thử loại phụ thuộc hàm này khỏi F sau đó tính A⁺, Nếu A⁺ ⊇ B thì nó là dư thừa, trái lại là không dư thừa.

Sau khi loại A → B ta có F = {B → C, A → C, B → DE, A → E, A → D}

Rõ ràng A⁺ = {AED} nên B ∉ A⁺, chứng tỏ A → B là không dư thừa.

Vậy phụ thuộc hàm này không thể loại khỏi F.

F vẫn là: {A → B, B → C, A → C, B → DE, A → E, A → D}

+ Kiểm tra B → C có dư thừa ?

Loại B→C khỏi F, ta có F = {A→B, A→C, B→DE, A→E, A→D}

B⁺ = {BDE} không chứa C, chứng tỏ B→C là không dư thừa.

$\to$F vẫn là: {A→B, B→C, A→C, B→DE, A→E, A→D}

+ Kiểm tra A → C có dư thừa ?

Loại A→C khỏi F ta được F = {A→B, B→C, B→DE, A→E, A→D}

A⁺ = {ABCDE} có chứa C, chứng tỏ A→C là dư thừa

$\to$ F bây giờ là: F = {A→B, B→C, B→DE, A→E, A→D}

+ Kiểm tra B → DE có dư thừa ?

Loại B→DE khỏi F, ta được F = {A→B, B→C, A→E, A→D}

B⁺ = {BC} không chứa DE, chứng tỏ B→DE không dư thừa

$\to$ F vẫn là {A→B, B→C, B→DE, A→E, A→D}

+ Kiểm tra A → E có dư thừa ?

Loại A→E khỏi F, ta được F = {A → B, B→C, B→DE, A→D}

A⁺ = {ABCDE} chứa E, chứng tỏ phụ thuộc hàm này dư thừa

$\to$ F bây giờ là: {A→B, B→C, B→DE, A→D}

+ Kiểm tra A → D có dư thừa ?

Loại A→D khỏi F, ta được F = {A→B, B→C, B→DE}

A⁺ = {ABCDE} chứa D, chứng tỏ phụ thuộc hàm A→D là dư thừa.

$\to$ F bây giờ là {A→B, B→C, B→DE}.

Duyệt lại các phụ thuộc hàm ta thấy không có phụ thuộc hàm nào bị loại thêm nữa (Tức là F = Const). Do vậy tập phụ thuộc hàm cuối cùng sau khi loại các phụ thuộc dư thừa là:

F = {A→ B, B → C, B → DE}

Với phương pháp loại bỏ thuộc tính và phụ thuộc hàm dư thừa đã đề cập ở trên, sau đây ta lấy ví dụ thực hiện việc tìm phủ tối thiểu của tập phụ thuộc hàm F.

Tìm phủ tối thiểu của tập phụ thuộc hàm T sau đây: T = {ABH → CK, A → D, C →E, BGH → F, F → AD, E →F, BH → E}

Bước 1: Chuyển vế phải của mỗi phụ thuộc hàm thành các thuộc tính đơn lẻ

• ABH → C
• ABH → K
• A → D
• BGH → F
• F → A
• F → D
• E → F
• BH → E

Bước 2: Loại bỏ các thuộc tính dư thừa bên phía trái của mỗi phụ thuộc hàm

⁺ Xét phụ thuộc hàm ABH→C

• A dư thừa vì (BH)⁺ = {BHEFDAKC} có chứa C.
• B Không dư thừa vì (AH)⁺ = {AHD} không chứa C
• H không dư thừa vì (AB)⁺ = {ABD} không chứa C

$\to$ Kết quả sau lần thứ nhất:

T = {BH → C, ABH → K, A → D, BGH → F, F → A, F → D, E → F, BH → E}

⁺ Tương tự: A dư thừa trong ABH→K vì (BH)⁺ = {BHCEFDAK} chứa K và G dư thừa trong BGH→F vì (BH)⁺ = {BHEFDAKC} có chứa F.

$\to$ Kết quả cuối cùng:

T = {BH → C, BH → K, A → D, BH → F, F → A, F → D, E → F, BH → E}

Đển đây ta không thể loại thêm được thuộc tính nào nữa.

Bước 3: Loại bỏ các phụ thuộc hàm dư thừa

Hiện tại T = {BH→C, BH→K, A→D, BH→F, F→A, F→D, E→F, BH→E}

• Thử loại BH → C, Ta có (BH)⁺ = {BHFADEK} không chứa C => không dư thừa.
• Thử loại BH→K, Ta có (BH)⁺ = {BHCFADE} không chứa K => không dư thừa.
• Thử loại A→ D, Ta có (A)⁺ = {A} không chứa D => không dư thừa.
• Thử loại BH→ F, Ta có (BH)⁺ = {BHCKEFAD} có chứa F => luật này dư thừa, loại ra khỏi T, ta được: T = {BH→C, BH→K, A→D, F→A, F→D, E→F, BH→E}
• Thử loại F→ A, Ta có F⁺ = {FD} không chứa A => không dư thừa
• Thử loại F→ D, ta có F⁺ = {FAD} có chứa D nên luật này dư thừa. Loại khỏi T ta được : T = {BH→C, BH→K, A→D, F→A, E→F, BH→E}
• Thử loại E→F, ta có E⁺ = {E} không chứa F => Không dư thừa.
• Thử loại BH→E, ta có (BH)⁺ = {BHCK} không chứa E nên không dư thừa.

Đến đây ta đã thử xong tất cả các phụ thuộc hàm trong lược đồ. Kết quả cuối cùng ta có phủ tối thiểu T = {BH→C, BH→ K, A→D, F→A, E→F, BH→E}.

Tìm phủ tối thiểu của lược đồ cho dưới đây: R = , Với U = {ABCDEGH} và F = {A→ BC, BE → G, E → D, D → G, A → B, AG → BC}

Bước 1 Tách vế phải thành 1 thuộc tính:

• A→B
• A→C
• BE→G
• E→D
• D→G
• A→B
• AG→B
• AG→C

Bước 2 Xoá thuộc tính dư thừa

• B dư thừa trong BE→G. Vì (E)⁺ = {DEG} chứa G
• G dư thừa trong AG→B. Vì (A)⁺ = {ABC} chứa B
• G dư thừa trong AG→C. Vì (A)⁺ = {ABC} chứa C

Bước 3 Xoá phụ thuộc hàm dư thừa:

• A→B dư thừa. Vì nếu xoá khỏi F, ta vẫn có (A)⁺ = {ABC} Chứa B
• A→C dư thừa. Vì nếu xoá khỏi F, ta vẫn có (A)⁺ = {ABC} Chứa C
• A→B dư thừa. Vì nếu xoá khỏi F, ta vẫn có (A)⁺ = {ABC} Chứa B
• E→G dư thừa. Vì nếu xoá khỏi F, ta vẫn có (E)⁺ = {DEG} Chứa G

Phủ tối thiểu của F là :

1) A→B

2) A→C

3) D→G

4) E→D

Tìm phủ tối thiểu của lược đồ cho dưới đđây: R = với U = (ABCDEGHIJ) và F = {A → BDE, DE → G, H → J, J → HI, E → DG, BC→ GH, HG→J, E→G}

Bước 1. Tách vế phi thành 1 thuộc tính:

• A→B
• A→D
• A→E
• DE→G
• H→J
• J→H
• J→I
• E→D
• E→G
• BC→G
• BC→H
• HG→J
• E→G

Bước 2. Xoá thuộc tính dư thừa

• D dư thừa trong DE→G. Vì (E)⁺ = {DEG} chứa G
• G dư thừa trong HG→J. Vì (H)⁺ = {HIJ} chứa J

Bước 3. Xoá phụ thuộc hàm dư thừa:

• A→D dư thừa. Vì nếu xoá khỏi F, ta vẫn có (A)⁺ = {ABDEG} Chứa D
• E→G dư thừa. Vì nếu xoá khỏi F, ta vẫn có (E)⁺ = {DEG} Chứa G
• H→J dư thừa. Vì nếu xoá khỏi F, ta vẫn có (H)⁺ = {HIJ} Chứa J
• E→G dư thừa. Vì nếu xoá khỏi F, ta vẫn có (E)⁺ = {DEG} Chứa G

Phủ tối thiểu của F là :

1. A→B
2. BC→H
3. A→E
4. BC→G
5. H→J
6. J→H
7. J→I
8. E→D
9. E→G