Thuật toán sắp xếp nhanh - Quick Sort

Ý tưởng:

Có dãy số: a1, a2, ..., an

Giải thuật QuickSort làm việc như sau:

Chọn x là một phần tử làm biên: thường chọn là phần tử ở giữa dãy số.

Phân hoạc dãy thành 3 dãy con

1. ak <= x , với k = 1..i

2. ak = x , với k = i..j

3. ak > =x , với k = j..N

Ak<=x

Ak=x

Ak>=x

Nếu số phần tử trong dãy con 1, 3 lớn hơn 1 thì ta tiếp tục phân hoạch dãy 1, 3 theo phương pháp trên. Ngược lại thì: dừng.

Giải thuật phân hoạch dãy am, am+1, ., an thành 2 dãy con:

Bước 1 : Chọn tùy ý một phần tử a[k] trong dãy là giá trị biên, m<= k <=n:

x = a[k]; i = m; j = n;

Bước 2 : Phát hiện và hiệu chỉnh cặp phần tử a[i], a[j] nằm sai vị trí:

Bước 2a : Trong khi (a[i]

Bước 2b : Trong khi (a[j]>x) j--;

Bước 2c : Nếu i<= j

// a[i]>= x; a[j]<=x mà a[j] đứng sau a[i]

Hoán vị (a[i],a[j]);

i++;

j--;

Bước 3 :

Nếu i <= j: Lặp lại Bước 2.//chưa xét hết mảng

Ngược lại: Dừng

Có thể phát biểu giải thuật sắp xếp QuickSort một cách đệ qui như sau :

Bước 1 : Phân hoạch dãy a­_m­ … a_n thành các dãy con :

- Dãy con 1 : am.. aj <= x

- Dãy con 2 : aj+1.. ai-1 = x

- Dãy con 1 : ai.. a_n >= x

Bước 2 : 

Nếu ( m < j )  // dãy con 1 có nhiều hơn 1 phần tử

Phân hoạch dãy a_m.. a_j

Nếu ( i < n )  // dãy con 3 có nhiều hơn 1 phần tử       Phân hoạch dãy a_i.. a_r

Ví dụ:

Ðánh giá giải thuật

Hiệu quả thực hiện của giải thuật QuickSort phụ thuộc vào việc chọn giá trị mốc.

Trường hợp tốt nhất xảy ra nếu mỗi lần phân hoạch đều chọn được phần tử median (phần tử lớn hơn (hay bằng) nửa số phần tử, và nhỏ hơn (hay bằng) nửa số phần tử còn lại) làm mốc, khi đó dãy được phân chia thành 2 phần bằng nhau và cần log₂(n) bước phân hoạch thì sắp x̓ 1;p xong.

Nhưng nếu mỗi bước phân hoạch phần tử được chọn có giá trị cực đại (hay cực tiểu) là mốc, dãy sẽ bị phân chia thành 2 phần không đều: một phần chỉ có 1 phần tử, phần còn lại gồm (n-1) phần tử, do vậy cần thực hiện n bước phân hoạch mới sắp xếp xong. Ta có bảng tổng kết

Trường hợp	Ðộ phức tạp
Tốt nhất	n*log(n)
Xấu nhất	n2

Radix sort

Ý tưởng:

Khác với các thuật toán trước, Radix sort là một thuật toán tiếp cận theo một hướng hoàn toàn khác. Nếu như trong các thuật toán khác, cơ sở để sắp xếp luôn là việc so sánh giá trị của 2 phần tử thì Radix sort lại dựa trên nguyên tắc phân loại thư của bưu điện.

Ta biết rằng, để đưa một khối lượng thư lớn đến tay người nhận ở nhiều địa phương khác nhau, bưu điện thường tổ chức một hệ thống phân loại thư phân cấp:

Trước tiên, các thư đến cùng một tỉnh, thành phố sẽ được sắp chung vào một lô để gửi đến tỉnh thành tương ứng.

Bưu điện các tỉnh thành này lại thực hiện công việc tương tự. Các thư đến cùng một quận, huyện sẽ được xếp vào chung một lô và gửi đến quận, huyện tương ứng. Cứ như vậy, các bức thư sẽ được trao đến tay người nhận một cách có hệ thông mà công việc sằp xếp thư không quá nặng nhọc.

Mô phỏng lại qui trình trên, để sắp xếp dãy a1, a2, ..., an, giải thuật Radix Sort thực hiện như sau:

Trước tiên, ta có thể giả sử mỗi phần tử ai trong dãy: a1, a2, ..., an là một số nguyên có tối đa m chữ số.

Ta phân loại các phần tử lần lượt theo các chữ số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, . tương tự việc phân loại thư theo tỉnh thành, quận huyện, phường xã, ..

Các bước thực hiện thuật toán như sau:

Bước 1 : // k cho biết chữ số dùng để phân loại hiện hành

k = 0; // k = 0: hàng đơn vị; k = 1:hàng chục;

Bước 2 : //Tạo các lô chứa các loại phần tử khác nhau

Khởi tạo 10 lô B0, B1, ., B9 rỗng;

Bước 3 :

For i = 1 .. n do

Ðặt ai vào lô Bt với t = chữ số thứ k của ai;

Bước 4 :

Nối B0, B1, ., B9 lại (theo đúng trình tự) thành a.

Bước 5 :

k = k+1;

Nếu k < m thì trở lại bước 2.

Ngược lại: Dừng

Ví dụ

Ðánh giá giải thuật

Với một dãy n số, mỗi số có tối đa m chữ số, thuật toán thực hiện m lần các thao tác phân lô và ghép lô. Trong thao tác phân lô, mỗi phần tử chỉ được xét đúng một lần, khi ghép cũng vậy. Như vậy, chi phí cho việc thực hiện thuật toán hiển nhiên là O(2mn) = O(n).  

 NHẬN XÉT

  Thuật toán không có trường hợp xấu nhất và tốt nhất. Mọi dãy số đều được sắp với chi phí như nhau nếu chúng có cùng số phần tử và các khóa có cùng chiều dài.

    Thuật toán cài đặt thuận tiện với các mảng có khóa sắp xếp là chuỗi (ký tự hay số) hơn là khóa số như trong ví dụ do tránh được chi phí lấy các chữ số của từng số.

   Tuy nhiên, số lượng lô nhiều (10 khi dùng số thập phân, 26 khi dùng chuỗi ký tự tiếng anh, ...) nhưng tổng kích thước của tất cả các lô chỉ bằng dãy ban đầu nên ta không thể dùng mảng để biểu diễn B (B0->B9). Như vậy, phải dùng cấu trúc dữ liệu động để biểu diễn B => Radix sort rất thích hợp cho sắp xếp trên danh sách liên kết.

Khi sắp các dãy không nhiều phần tử, thuật toán Radix sort sẽ mất ưu thế so với các thuật toán khác.

Sắp xếp cây - Heap sort

Ðịnh nghĩa Heap:

Giả sử xét trường hợp sắp xếp tăng dần, khi đó Heap được định nghĩa là một dãy các phần tử  a_p, a₂ ,... , a_q thoả các quan hệ sau với mọi i thuộc [p, q]:

1/.	ai  >= a2i
2/.	ai  >= a2i+1     {(ai , a2i), (ai ,a2i+1) là các cặp phần tử liên đới }

Heap có các tính chất sau :

Tính chất 1 : Nếu ap , a2 ,... , aq là một heap thì khi cắt bỏ một số phần tử ở hai đầu của heap, dãy con còn lại vẫn là một heap.

Tính chất 2 : Nếu ap , a2 ,... , aq là một heap thì phần tử  a1 (đầu heap) luôn là phần tử lớn nhất trong heap.

Tính chất 3 : Mọi dãy ap , a2 ,... , aq, dãy con aj, aj+1,…, ar tạo thành một heap với j=(q div 2 +1).

Giải thuật Heapsort :

Giải thuật Heapsort trải qua 2 giai đoạn :

Giai đoạn 1 :Hiệu chỉnh dãy số ban đầu thành heap;

Giai đoạn 2: Sắp xếp dãy số dựa trên heap:

Bước 1:  Ðưa phần tử  lớn nhất về vị trí đúng ở cuối dãy:        r = n; Hoánvị (a1 , ar );

Bước 2: Loại bỏ phần tử lớn nhất ra khỏi heap: r = r-1;       Hiệu chỉnh phần còn lại của dãy từ  a1 , a2 ... ar thành một heap.

Bước 3:  Nếu r>1 (heap còn phần tử ): Lặp lại Bước 2        Ngược lại : Dừng

Dựa trên tính chất 3, ta có thể thực hiện giai đoạn 1 bằng cách bắt đầu từ heap mặc nhiên an/2+1 , an/2+2 ... an, sau đó thêm dần các phần tử an/2, an/2-1, ., a1 ta sẽ nhân được heap theo mong muốn.

Ví dụ

Ðánh giá giải thuật

Trong giai đoạn sắp xếp ta cần thực hiện n-1 bước mỗi bước cần nhiều nhất là log₂^(n-1), log₂^(n-2), … 1 phép đổi chỗi.

Như vậy độ phức tạp thuật toán Heap sort O(nlog2n)