Trong toán học, số siêu phức là khái niệm mở rộng của số phức từ dạng tổ hợp tuyến tính 2 chiều z = a + b.i với các hệ số thực a, b của hai đơn vị cơ sở 1 và i sang không gian vectơ n chiều với n hệ số thực x0, x1, x2, ..., xn-1, của n đơn vị cơ sở 1, e1, e2, e3, ..., en-1:
z = x0.1 + x1.e1 + x2.e2 + ... + xn-1.en-1
* Phép cộng và trừ số siêu phức được định nghĩa theo tọa độ tương tự như phép cộng và trừ vectơ trong không gian n chiều.
* Phép nhân hai số siêu phức: xác định giá trị của (n-1)2 tích ei.ej, còn các tích của ei với 1 được đặt một cách tự nhiên (1.ei = ei.1 = ei)
Tính chất: Phép nhân số siêu phức không có tính giao hoán, do đó, các tập hợp số siêu phức không phài là trường số.
* Bộ bốn (en:Quaternion) là số siêu phức với số chiều n = 4 có dạng x = a + bi + cj + dk với a, b, c, và d là các số thực còn i, j và k là các số bộ bốn đặc biệt được định nghĩa như sau:
1. 1i = i1 = i; 1j = j1 = i; 1k = k1 = i
2. i2 = j2 = k2 = − 1
Số y = a − bi − cj − dk là số siêu phức bộ bốn liên hợp với x = a + bi + cj + dk
Phép nhân số siêu phức bộ bốn có tính kết hợp nhưng không giao hoán và không có ước của không. Định lý Frobenius (en:Frobenius theorem (real division algebras)) khẳng định rằng chỉ có trường số thực, trường số phức và vành số siêu phức bộ bốn mới có tính kết hợp trong phép nhân vô hướng với một số thực mà thôi.
Số siêu phức bộ bốn được William Rowan Hamilton nghiên cứu và đề xuất trong khi tìm tòi mở rộng trường số phức.
* Bộ tám (en:Octonion)
* Bộ mười sáu (en:Sedenion)
* Số thực
* Số siêu việt
* Số đại số
* Số vô tỉ
* Số hữu tỉ
* Số nguyên
* Số tự nhiên
* Số nguyên tố
* Định lý cơ bản của đại số
* Hình học phức
* Mặt cầu Riemann (mặt phẳng phức mở rộng)
* Giải tích phức
* Số phức
