Định nghĩa

Cho tập hợp M và ánh xạ d : X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau:

• d(x, y) ≥ 0, với mọi x,y thuộc R; (tính chất không âm)
• d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y;
• d(x, y) = d(y, x), với mọi x,y thuộc R; (tính đối xứng)
• d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), với mọi x,y,z thuộc R. (bất đẳng thức tam giác)

Khi đó hàm d được gọi là hàm khoảng cách hay một mêtric trên tập X và (M,d) được gọi là một không gian mêtric. Đôi khi, nếu đã ró ràng là đang sử dụng mêtric nào người ta chỉ viết M mà không kèm theo d.

Điều kiện thứ nhất trong bốn điều kiện trên có thể suy ra từ ba điều kiện sau vì:

2d(x, y) = d(x, y) + d(y, x) ≥ d(x,x) = 0.

Một số tài liệu đòi hỏi X phải là tập khác rỗng.

Các ví dụ về không gian metric

• Tập số thực với hàm khoảng cách d(x, y) = |y − x| , và tống quát hơn là Không gian Euclidean với khoảng cách Euclide, là không gian mêtric đầy đủ.
• Tập số hữu tỷ với hàm khoảng cách như trên là không gian mêtric, nhưng không đầy đủ.
• Không gian Hyperbolic.
• Không gian định chuẩn là không gian metric nhờ định nghĩa d(x, y) = ||y − x||. (Nếu không gian như vậy là đầy, ta gọi nó là không gian Banach). Ví dụ:
• Không gian chuẩn Manhattan cho ta khoảng cách Manhattan, trong đó khoảng cách giữa hai điểm hoặc hai vetor bằng tống các độ lệch giữa các tọa độ tương ứng của chúng.
• Chuẩn maximum cho ta khoảng cách Chebyshev hoặc khoảng cách bàn cờ vua, là số các bước đi ít nhất của quân vua trên đường đi từ x tới y.
• Mêtric rời rạc, trong đó d(x,y)=1 với mọi x khác y và d(x,x)=0, là ví dụ đơn giản nhưng quan trọng có thể áp dụn cho mọt tập khác rỗng. Điều này nói lên rằng với mọi tập khác rỗng luôn có một không gian mêtric trên nó.
• Mêtric British Rail (còn được gọi là mêtric Post Office) trên một không gian vetor định chuẩn, cho bởi d(x, y) = ||x|| + ||y|| với các điểm phân biệt x ,y, và d(x, x) = 0. Tổng quát hơn ||.|| có thể thay bằng một hàm f từ một tập tùy ý S vào tập số thực không âm và lấy giá trị 0 ở hầu hết điểm: khi đó một metric được định nghĩa trên S bởi d(x, y)=f(x)+f(y) cho các điểm phân biệt x và y, và d(x, x) = 0.
• Nếu X là một tập nào đó và M là một không gian metric, khi đó tập tất cả các hàm bị chặn f : X → M (nghĩa là ảnh của các hàm này là các tập con bị chặn của M) có thể trở thành một không gian mêtric nhờ định nghĩa d(f, g) = supx trong X d(f(x), g(x)) với các hàm bị chặn f và g bất kỳ. Nếu M là đầy đủ, thì không gian này cũng sẽ là đầy đủ.
• Nếu M là một đa tạp Riemannian liên thông, thì có thể biến M thành một không gian mêtric bằng cách định nghĩa khoăng cách giữa hai điểm là infimum của các đường đi (các đường cong khả vi liên tục)) nối chúng.
• Nếu G là môth đồ thị vô hướng, thì tập V các đỉnh của G có thể trở thành không gian mêtric nhờ định nghĩa d(x, y) là độ dài của đường đi ngắn nhất nối x và y.