BI SẮT SẼ RƠI XUỐNG NHANH NHẤT
THEO ĐƯỜNG NHƯ THẾ NÀO?
Nếu để một quả bóng kim loại chạy trên một rãnh nghiêng bằng kim loại nhẵn bóng từ điểm A và B hình vẽ), bạn muốn nó rơi xuống đáy (phần dưới) trong thời gian ngắn nhất, vậy thì rãnh kim loại này phải có hình dạng như thế nào?
Vấn đề này mới đầu xem ra có vẻ hơi khó một chút, dường như rãnh kim loại này nên làm thẳng bởi vì đường thẳng giữa 2 điểm là ngắn nhất. Nhưng vấn đề này lại không đòi hỏi đường ngắn nhất mà đòi hỏi thời gian ngắn nhất. Cần phải biết rằng: thời gian quả bóng rơi xuống không chỉ có quan hệ với độ dài ngắn của đường chạy mà còn có quan hệ với tốc độ bóng rơi. Nếu làm cho phần giữa của rãnh kim loại này hơi cong xuống dưới thì từ phần bắt đầu là điểm A sẽ dốc hơn so với rãnh thẳng, vì thế tốc độ quả bóng sắt rơi xuống men theo phần này nhất định sẽ lớn hơn tốc độ từ phần rãnh thẳng có độ dài tương tự. Nhưng cũng cần chú ý đến một điểm sau, nếu để nửa trên của rãnh quá dốc, vậy thì phần liên kết B ở phía dưới sẽ rất bằng phẳng, vì vậy tuy quả bóng ở phần trước chạy rất nhanh nhưng đến phần sau lại chạy rất chậm, thời gian tới điểm B cũng chưa chắc đã là ngắn nhất.
Nên làm chiếc rãnh có hình dạng như thế nào? Nhà vật lý học kiêm nhà thiên văn học người Italia Galile đã từng suy nghĩ đến vấn đề này. Ông cho rằng chiếc rãnh này nên làm thành hình cung tròn. Nhưng 50 năm sau (tức khoảng năm 1700) nhà số học người Thuỵ Sỹ Bechôli bằng phép tính tinh vi đã chứng minh không phải như vậy, chiếc rãnh này nên cong thành các hình cung (như chiếc rãnh dưới cùng trong hình vẽ bên phải - trang 118). Từ lúc này trở đi, các đường được sắp xếp có cái tên là ''Đường rơi tốc độ cao nhất''.
Các đường sắp xếp là những đường cong như thế nào? Khi một đường tròn lăn chuyển trên một đường thẳng cố định (không phải là trượt). Trong hình vẽ được miêu tả điểm cố định trên vòng tròn này chính là ''các đường sắp xếp'', hay còn gọi là ''các đường bánh quay''.
Phương pháp giải đáp vấn đề này về sau đã phát triển thành một lĩnh vực số học mới đó là biến phân học, vì thế mà trong lịch sử toán học nó đóng vai trò rất quan trọng.
Do sự phát triển của các công trình hệ thống và vận trù học nên biến phân học đã khôi phục lại sức sống mãnh liệt của mình.
