CHIẾC CẦU CỦA DIRAC
Fowler đã đặt trước chàng nghiên cứu sinh Dirac bài toán: ''Làm thế nào áp dụng ý tưởng quỹ đạo Bohr cho các nguyên tử phức tạp hơn?''. Làm quen với lý thuyết Bohr, Dirac bị bất ngờ bởi tính không nhất quán của nó. Trong những điều kiện nhất định có thể mô tả chuyển động của các điện tử (electron) trong nguyên tử bằng các định luật động lực học Newton. Muốn vậy chỉ cần cấm điện tử phát xạ trên các quỹ đạo dừng nghĩa là áp đặt lên các quy luật cổ điển những điều kiện lượng tử. Khi đó thì sẽ giải thích được các phổ nguyên tử, nhưng chỉ với trường hợp các nguyên tử chỉ có một điện tử hóa trị. Ngay với nguyên tử hai điện đơn giản nhất là heli thì lý thuyết Bohr đã không còn dùng được nữa.
Dirac tìm hiểu lý thuyết quỹ đạo điện tử của Bohr qua quyển sách ''Cấu tạo nguyên tử và các phổ'' của nhà vật lý và toán học Đức Arnold Johann Wilhelm Sommerfeld (l868 - l951) Trong sách có phụ lục dành cho động lực học của nhà vật lý và toán học Ailen William Rowan Hamilton (1805- 1865) và sự áp dụng nó vào lý thuyết nguyên tử. Hình thức trình bày các phương trình cơ học Hamilton đã chinh phục Dirac bởi vẻ đẹp toán học của nó: “Hamilton đã được phú cho một thiên tài đáng kinh ngạc để thâm nhập vào cái thực chất nhất. Ông đã tìm ra cho các phương trình cơ học một hình thức diễn đạt mà hàng trăm năm sau rất nhiều năm sau khi ông mất người ta còn phải tìm hiểu giá trị của nó''.
Cũng khoảng thời gian ấy Dirac làm quen với với công trình của Heisenberg, người cho rằng không nên xây dựng lý thuyết nguyên tử trên cơ sở cơ học cổ điển, mà chỉ bằng ngôn ngữ của các đại lượng quan sát được. Song tất cả các đại lượng quan sát được - là các vạch phổ nguyên tử - lại gắn liền không phải với một, mà với hai quỹ đạo Bohr (nguyên tử phát xạ khi chuyển điện tử từ quỹ đạo này sang quỹ đạo khác). Trong vật lý cổ điển (cơ học Newton, điện động lực học Maxwell) các biến số động lực học là hoặc vô hướng hoặc là vectơ. Ví dụ xung lượng của hạt 
, i = 1, 2, 3. Còn với đại lượng lượng tử, vì phải phản ánh các trạng thái không phải chỉ của một mà là hai quỹ đạo Bohr, nên các biến số cần không phải chỉ có một, mà có hai chỉ số aij, i và j = 1,2,3. Heisenberg cho rằng ông đã tìm ra công cụ toán học mới, mà không biết về sự tồn tại của phép tính ma trận, do đó ông được ông thầy Max Born đặt cho biệt danh ''kẻ dốt nát tài ba''.
Tính không thể đổi chỗ (mà từ sau Dirac người ta gọi là tính không giao hoán) của các biến số động lực học trong cơ học Heisenberg, nghĩa là uv 
vu đã làm rầu lòng người sáng tạo ra nó vì ông coi đó là khiếm khuyết trong lý thuyết của mình. Ngược lại Dirac lại xem tính không giao hoán của các biến số là phần công lao lớn nhất của Heisenberg vào việc xây dựng môn động lực học mới. Ông tự đặt cho mình bài toán thay đổi các phương trình Newton thế nào để chúng thoả mãn đại số không giao hoán. Dirac bỗng nhó ra trong cơ học cổ điển đã có cái gì đó tương tự - sự không giao hoán của các dấu ngoặc Poisson.
Theo Hamilton phương trình chuyển động đối với bất kỳ biến động lực nào cũng có thể viết dưới dạng du/dt = (u/ H), vế bên phải là dấu ngoặc Poisson của biến số đã cho u với năng lượng toàn phần H, còn được gọi là hàm số Hamilton. Thực hiện phép thay thế (u,H) = (uH- H u)/iħ, Dirac đi tới phương trình tổng quát của chuyển động trong cơ học lượng tử du/dt = (u, H) = (uH - Hu)iħ
Công trình ''Các phương trình cơ bản của cơ học lượng tử'' đã thành ''chiếc thẻ'' đưa Dirac gia nhập ''câu lạc bộ'' những người sáng lập cơ học lượng tử, mà nhà vật lý lý thuyết Thụy Sĩ Wolfgang Pauli gọi đó là Knabenphysik (tiếng Đức có nghĩa là ''vật lý học của các cậu bé con''). Thành viên câu lạc bộ đều rất trẻ: Pauli tròn 25, Heisenberg 24 tuổi còn Dirac và Pascual Jordan 23 tuổi.
Dirac đã thực sự xây dựng được cây cầu nối giữa cơ học cũ - cổ điển với cơ học mới - lượng tử. Đối với ông thu lượm các kết quả tươi mới một lần nữa lại biến thành một trò chơi độc đáo. Các mô hình của các hệ thống động lực học khác nhau được mô tả ở dạng Hamilton, sau đó thay dấu ngoặc Poisson vào giao hoán tử lượng tử đã cho ra phương trình cơ học lượng tử.
Vào tháng 5 năm 1926 Dirac bảo vệ luận án tiến sĩ ở Cambridge với tiêu đề ''Cơ học lượng tử''. Cũng khi đó xuất hiện công trình của nhà vật lý lý thuyết Áo Erwin Schrodinger (1887- 1961), đưa ra khái niệm các hàm sóng. Ban đầu Dirac đã không lĩnh hội được cơ học sóng mới mẻ này, thứ nhất vì đã có cơ học lượng tử Heisenberg, thứ hai, Schrodinger đã sử dụng một công cụ hàm số sóng chưa quen biết với nhà Vật lý người Anh, và thứ ba, Schrodinger lúc này từng hy vọng ''thủ tiêu'' cơ học lượng tử, đưa vật lý trở về với cơ học cổ điển. Nhưng sau đó nắm vững công cụ mới và suy nghĩ về tính đối xứng của các hàm sóng, Dirac đã độc lập với nhà vật lý Italia Enrico Fermi (1901 - 1954), tạo ra lý thuyết thống kê của các hạt lượng tử với pin bán nguyên (thống kê Fermi-Dirac). Trước sự ngạc nhiên của tất cả các nhà vật lý, không bao lâu sau Dirac đã chỉ ra rằng các bức tranh Heisenberg và Schrodinger, dù cho có hệ ý tưởng trái ngược nhau, thực chất chỉ là các biểu diễn khác nhau của cùng một quy luật lượng tử.
''Một trong những ý tưởng không biết từ đâu sinh ra'' đã là kết quả có ý nghĩa nhất của việc sử dụng ý tưởng Schrodinger. Dirac suy luận: ''Cái gì sẽ xảy ra khi lấy phương trình sóng
Schrodinger làm đối tượng và ta áp dụng việc lượng tử hoá cho chính hàm sóng. Trước nay hàm sóng biểu thị bằng các số thường, cổ điển, ta sẽ gọi là c - số. Nảy sinh câu hỏi: nếu biến chúng thành số lượng tử, q - số, thì sẽ thu được cái gì? Phương pháp gọi là lượng tử hóa lần thứ hai đã sinh ra từ những ý tưởng như vậy!''. Kết quả của lượng tử hoá lần thứ nhất là ta có phương trình mô tả chuyển động của các hạt lượng tử trong trường ngoài. Các trường vẫn là cổ điển, vẫn ở ngoài con tàu của thuyết lượng tử.
Kết quả sự lượng tử hoá lần thứ hai thì các hạt và trường trở nên ''bình đẳng''. Tương tác của các hạt qua trường giờ đây được biểu diễn là kết quả trao đổi các lượng tử của trường. Đó là ý tưởng cơ bản của lý thuyết trường lượng tử.
PHÁT MINH KHI ĐI TẢN BỘ
Dirac hồi tưởng: ''Vào một ngày chủ nhật tháng 10 năm 1925, mặc dù rất muốn nghỉ ngơi bằng đi tản bộ, tôi vẫn suy nghĩ lao lung về hiệu số uv-vu, và tôi chợt nhớ rằng trong các giáo trình động lực học từng gặp tôi đã đọc được cái gì đó về các đại lượng kì lạ kiểu như dấu ngoặc Poisson và tôi nhận ra có sự tương tự giữa dấu ngoặc Poisson đối với các đại lượng u, v và giao hoán tử uv-vu... Tôi không nhớ rõ dấu ngoặc Poisson là gì, và không biết công thức chính xác về nó. Nhưng dấu ngoặc Poisson ẩn giấu những khả năng đáng giá và tôi nghĩ rằng có thể sẽ thực hiện một phát minh lớn lao. Tôi cảm thấy nhất thiết phải làm sống lại hiểu biết của mình về dấu ngoặc Poisson.
Ở ngoại ô thành phố không thể làm gì hơn được, tôi vội vã về nhà... Các sách tôi có thì lại quá sơ lược. Không thể làm được gì hơn vì chiều chủ nhật thư viện đóng cửa. Một đêm khổ sở đợi chờ, chẳng hiểu ý tưởng của mình có đáng giá gì không. Nhưng qua đêm ấy lòng tin của tôi đã được củng cố. Sáng ra tôi lao đến thư viện ngay khi vừa mở cửa, tìm thấy dấu ngoặc Poisson trong ''Động lực học giải tích'' của Whittaker và thấy ngay được cái mình cần... ý nghĩ làm sao gắn liền dấu ngoặc Poisson với các giao hoán tử đã khởi động công trình của tôi trong lĩnh vực cơ học lượng tử mới mẻ''.
