SỰ CÂN BẰNG CỦA CÁC CHẤT LỎNG VÀ CHẤT KHÍ
Cơ học thủy khí là một khoa học khá phức tạp và ta phải làm quen với nó từ phần đơn giản nhất của nó là thủy tĩnh học (hydrostatics, gốc từ tiếng Hi Lạp hydor = nước và statike = ''học thuyết về sự cân bằng'' ). Thủy tĩnh học nghiên cứu các tình huống ở đó không có chuyển động xảy ra hoặc là có nhưng với vận tốc nhỏ có thể bỏ qua được.
Thủy tĩnh học với tính cách là một khoa học thực sự đã được biết đến khá đầy đủ từ thời cổ đại, liên quan chặt chẽ với hoạt động thực tiễn của con ngươi. Để xây dụng tàu, thuyền, đào giếng và các thiết bị thủy lực khác nhau (chẳng hạn các máy bơm píttông) cần phải nắm vững các nguyên lý của thủy tĩnh học.
Thủy tĩnh học cho phép hiểu được một số tính chất của một đại lượng thủy động lực học quan trọng là áp suất (hay áp lực). Các vật rắn và vật xốp gây ra áp suất trên giá đỡ, nhưng nó khác với áp suất thủy tĩnh học, áp suất của vật rắn được quyết định bởi trọng lượng của vật còn áp suất của chất lỏng thì bởi độ sâu cột chất. Áp lực p trên đáy bình không phụ thuộc vào hình dạng của bình mà được quyết định chỉ bởi mức chất lỏng được rót vào bình, phù hợp với công thức thủy tĩnh học:
p = po + 
gh
Ở đây p là mật độ chất lỏng, g là gia tốc rơi tự do, h là độ sâu của cột nước, po là áp suất khí quyển. Các vật xốp giống như chất lỏng và chất khí có thể gây ra áp suất lên mặt bên song áp suất này không tuân theo định luật Pascal (định luật này nói rằng áp suất ở bất kỳ chỗ nào của chất lỏng hay chất khí đứng yên theo tất cả các phương đều giống nhau, ngoài ra áp suất được truyền giống nhau khắp toàn bộ thể tích chất lỏng hay chất khí. Trong định luật Pascal, trọng lượng của chất lỏng hay chất khí không được tính đến.
Trong số các định luật cơ bản của thủy tĩnh học ngoài các công thức thủy tĩnh học và định luật Pascal, có thể kể tới định luật Archimedes, một vật được nhúng vào chất lỏng (hay chất khí sẽ bị một lực đẩy tác dụng bằng giá trị trọng lượng của khối chất lỏng (hay chất khí bị chiếm chỗ hướng ngược chiều với chiều trọng lực và tác dụng vào trọng tâm của thể tích phần chiếm chỗ.
Định luật Archimedes và công thức thủy tĩnh học được tìm thấy không mấy phức tạp bằng cách dùng phương pháp chuẩn đối với cơ học môi trường liên tục, mà đôi khi được gọi là quy tắc tỉa, bỏ, thay thế cân bằng. Khi tìm một công thức thủy tĩnh học ta theo thuật toán này.
Tỉa. Ta hãy dùng óc tưởng tượng cắt một thể tích chất lỏng là một hình trụ có chiều cao h và các đáy nằm ngang có diện tích S.
Bỏ. (cũng tưởng tượng) toàn bộ chất lỏng ngoài hình trụ này (chỉ lưu ý rằng khối lượng của phần chất lỏng giữ lại bằng hS).
Thay thế. tác dụng của chất lỏng bị bỏ đi bằng tác dụng của áp suất sao cho giữ nguyên được trạng thái cân bằng của phần chất lỏng được giữ lại.
Cân bằng các lực. Tác dụng lên thể tích hình trụ được tách ra gồm có trọng lực mg = hsg theo phương thẳng đứng và các áp lực. Áp suất chất lỏng lên mặt bên được bù trừ lẫn nhau bởi vì nếu không thế thì sẽ xuất hiện thành phần lực nằm ngang trái với điều kiện cân bằng. Thành phần thẳng đứng của áp lực có được nhờ tác dụng lên đáy hình trụ. Tác dụng lên đáy trên (giả định rằng nó trùng với mặt chất lỏng) có lực poS. Tác dụng lên đáy dưới có lực pS. Có thể cho tổng các lực này bằng không sau khi chú ý tới hướng tác dụng của chúng:
pghS + pos - pS = 0
Chia hệ thức này cho giá trị diện tích dáy hình trụ S, ta tìm được công thức thủy tĩnh học. Có thể tìm được định luật Archimedes một cách đơn giản hơn nhờ thuật toán này (tỉa, bỏ, thay thế cân bằng): nếu thay thế vật được nhúng trong chất lỏng bằng chính chất lỏng đó thì ta sẽ nhận được trạng thái cân bằng - chính là áp lực chất lỏng tác dụng lên bề mặt vật, áp lực này cân bằng với trọng lượng chất lỏng nằm trong bề mặt vật.
DẠNG BỀ MẶT CHẤT LỎNG TRONG MỘT CHIẾC CỐC QUAY
Có vẻ như là bài toán này không có quan hệ gì với thủy tĩnh học, vì chất lỏng chuyển động. Song nếu ta chuyển sang hệ quy chiếu không quán tính được gắn với chiếc cốc thì đối với nó chất lỏng đứng yên.
Tuy nhiên áp suất p tăng không chỉ khi tăng độ sâu h mà còn cả khi tăng khoảng cách r tới trục quay, vì rằng trong một hệ tọa độ như thế còn có thêm lực quán tính m
(
là vận tốc góc quay) tác dụng lên phần tử chất lỏng, (xem hình bên).
Khác với trọng lực luôn không đổi và không phụ thuộc độ sâu, lực quán tính tăng tỷ lệ với khoảng cách r tới trục quay.
Hợp lực F của các lực này phải vuông góc với mặt chất lỏng, còn tang của góc giữa tiếp tuyến với mặt và trục quay tỷ lệ nghịch với khoảng cách từ trục quay tới phần tử chất lỏng:
Đường parabôn có tính chất này (nếu nói đúng ra thì bề mặt chất lỏng là một paraboloit tròn xoay). Khi khuấy nước chè trong một chiếc cốc ta sẽ thu được một mặt rất giống với mặt paraboloit. Sự biến dạng của hình dạng này chỉ xuất hiện ở gần thành cốc vì ở đó ma sát chất lỏng làm giảm vận tốc.
KHÍ QUYỂN TRÁI ĐẤT CÓ BAO NHIÊU KHÔNG KHÍ?
Đối với không khí và các chất khí công thức thủy tĩnh học có thay đổi chút ít vì các chất khí nén được. Mật độ khí phụ thuộc vào áp suất theo phương trình Clapeyron - Mendeleev: 
. Đối với chúng, ta phải viết biểu thức dưới dạng phần thay đổi của các đại lượng: thay đổi áp suất trong chất khí đứng yên nhờ lực hấp dẫn gây ra bởi sự thay đổi chiều cao 
h: 
Như ta thường thấy trong vật lý, khái niệm đạo hàm cho phép ta viết ngắn gọn hơn các biểu thức này: Tốc độ giảm áp suất theo chiều cao bằng:
Nghiệm của phương trình vi phân này là hàm số mũ với chỉ số mũ 
Sự phụ thuộc của áp suất vào độ cao có thể được viết là
Ở đây po là áp suất trên bề mặt Trái Đất, 
được gọi là độ cao của khí quyển chuẩn.
Khi lên tới độ cao ho áp suất và mật độ giảm e lần.
Tổng khối lượng của không khí - đó là tổng (hay tích phân) khối lượng của các lớp thành phần
Sau khi lấy tích phân ta được M = pohoS, ở đây S là diện tích bề mặt Trái đất, po mật độ không khí ở mặt Trái Đất. Nói cách khác, nếu như mật độ khí quyển ở mọi độ cao vẫn như mật độ ở bề mặt Trái Đất, thì khí quyển này chỉ đạt độ cao 7,8 km - đó là giá trị gần đúng của ho đối với khí quyển chuẩn của Trái Đất. Khối lượng M của khí quyển gần bằng 5.1015 tấn.
