VÌ SAO ĐỨNG NGHIÊM, QUAY PHẢI, QUAY TRÁI, QUAY ĐẰNG SAU
LẠI TRỞ THÀNH ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA TOÁN HỌC?
Đứng thẳng, quay phải, trái, quay sau là 4 động tác cơ bản nhất của con người, 4 động tác này không liên quan gì tới số lượng, hình họa vậy tại sao lại được xếp vào làm đối tượng nghiên cứu của toán học? Thật đã làm cho mọi người cảm thấy vô cùng kỳ lạ, Muốn làm rõ vấn đề này, xin bắt đầu từ quan hệ nội tại giữa 4 động tác trên. Ta ký hiệu I là động tác - đứng nghiêm. L: Quay trái, R: quay phải, H: quay đằng sau. Tập hợp M = {I,R, L,H}.
Nếu ta quay trái trước, sau đó quay phải thì tương đương với việc không quay. Ta dùng ký hiệu ''o'' để chỉ hành động xây ra 2 lần. Như vậy ta có RoL= I
LoR = I.
HoL = R. Từ đó đưa ta tới một bảng quan hệ như dưới đây, chúng tôi xin giải thích quan hệ giữa I, R, L, H.
| o | L | L | R | H |
| I | I | L | R | H |
| L | L | H | I | R |
| R | R | I | H | L |
| H | H | R | L | I |
Trước tiên, ta thấy, bất kỳ phần tử nào của M nhân với I cũng đều là chính nó. I tương đương với số ''1'' trong tập số N, 1 số nhân, chia với 1 đều cho ra kế quả là chính nó. Do vậy I được gọi là ''đơn vị nguyên''. Tiếp đó, với bất kỳ số tự nhiên ''a'' nào ta đều có số nghịch đảo với nó là ''1/a'', bất kỳ số nguyên tố trong M đều có thể tìm thấy một số nguyên tố đối ứng với nó trong M, làm cho kết quả vận động liên tục của 2 số nguyên tố này chính là I, hai số nguyên tố này được gọi là số nguyên tố nghịch đảo cùng nhau. Thông qua sơ đồ quan hệ, ta có thể biết rằng L và R là hai số nguyên tố nghịch đảo của nhau. Còn H và I có số nghịch đảo là chính nó. Hơn nữa, cũng giống như quy luật kết hợp trong phép chia, đối với việc tính toán, tập hợp M cũng đáp ứng quy luật kết hợp. Ví dụ, (L.R).H = I.H = H, mà L.(R.H) = L.L = H, do vậy (L.R).H = L(R.H).
Tóm lại, đối với tập hợp M gồm 4 nguyên tố I, R, L, H thì trong đó có việc tính toán hai nguyên tố. Nó lại có nguyên tố đơn, mỗi một ngu.yên tố lại có số nghịch đảo, mà việc tính toán giữa các nguyên tố lại đáp ứng quy luật kết hợp. Điều này quan hệ rất nhiều đến định nghĩa thực về kết cấu của tập hợp M. Toán học thường dùng kết cấu trừu tượng như vậy làm đối tượng nghiên cứu. Do vậy, chúng ta nói ''Đứng nghiêm, quay trái, quay phải, quay đằng sau'' cấu thành đối tượng của toán học. Trên thực tế, đối tượng này của toán học chính là ''Nhóm'' trong đại số trừu tượng. Xin các bạn đọc hãy thử xem, nếu lấy M biểu thị tất cả số lý, vậy thì theo phép chia thông thường, M cũng cấu thành ''Nhóm''.
Khái niệm ''Nhóm'' là do nhà toán học Pháp Galoa đưa ra, ngày nay nó hầu như đã thâm nhập vào mọi lĩnh vực của toán học, nó cũng có ứng dụng quan trọng trong các ngành khoa học tự nhiên như vật lý, hóa học. Phương trình trên bậc 5 bình thường được nhắc đến trong cuốn sách này không thể dùng công thức thông thường để giải em phần ''Giải phương trình đều phải dùng công thức phải không''), cũng phải dùng đến thuyết nhóm thì mới có thể chứng minh được.
