GIẢ THIẾT VỀ ''SỰ TỒN TẠI CỦA DÃY SỐ LIÊN TỤC''?
Chúng ta nói rằng, các số trong tập số thực không có dạng 8o. Đưa ra kết luận trên là để nhằm khẳng định rằng: cho dù cố gắng thế nào ta cũng không thể liệt kê hết tất cả các số thực. Ví như: không thể kể ra hết các số thực từ 0 -> 1. Sau đây, chúng tôi xin chứng minh định lý trên bằng phương pháp phản chứng.
Giả thiết có 1 tập hợp số thực từ 0 -> 1 với dạng.
xi = 0,ai1, ai2, ai3, ai4...
Trong đó aij là xi tại vị trí 9. Giá trị của aij giao động từ 0 -> 9.
Chúng ta phản đưa ra lí luận để khẳng định giả định ban đầu là sai.
Thực vậy, nếu lấy y=0, b1,b2,b3,b4.. thỏa mãn bi 
aii thì sẽ thấy giá trị của y tại vị trí i không giống với xi với mọi i đều có y xi vì thế y không có mặt, trong dãy số trên. Mâu thuẫn trên chứng tỏ là bất luận thế nào chúng ta cũng không thể để một đối ứng 1 - 1 của số thực và số tự nhiên giữa 0 và 1, đương nhiên tất cả các số thực càng không thể đối ứng 1 - 1 với số tự nhiên.
Các số trong tập hợp số thực có công thức chung là 81: Một vấn đề mới được đặt ra là: Giữa 8o và 81 có tồn tại các số đếm nào khác nữa không? Suy đoán của nhà toán học Kontur trong thuyết tập hợp là giữa 8o và 81 không có số đếm nào khác. Điều này cũng chính là nói rằng: Các số trong tập con vô hạn của tập số thực chỉ có dạng là 8o và 81 , đó chính là cái gọi là ''Vấn đề dãy số liên tục'' (mọi người dùng tập hợp số thực, cũng chính là tập hợp điềm trên đường thẳng, gọi là ''dãy số liên tục'', đây là nguồn gốc của tên gọi ''Vấn đề dãy số liên tục'').
Việc nghiên cứu dãy số liên tục có ý nghĩa quan trọng đối vôi toán học. Vấn đề này luôn được nhà toán học quan tâm, lưu ý, và họ tìm mọi cách nhằm chứng minh cho sự tồn tại hay phủ định sự tồn tại của dãy số này. Năm 1900, nhà toán học nổi tiếng Hilbert tại hội nghị toán học quốc tế đã đưa ra 23 vấn đề làm đau đầu các nhà toán học quốc tế, xong nó lại có một ý nghĩa vô cùng to lớn đối với sự phát triển của ngành toán học hiện tại và tương lai. Người ta thấy tên của dãy số liên tục trong 23 vấn đề trên nhưng lại chẳng nhà toán học nào dám quả quyết chứng minh hay phủ định sự tồn tại của dãy số này. Phải tới năm 1938, K.Gedeer mới chứng minh được rằng: Trong hệ thống tiên đề ZF, không có cách nào phủ định được sự tồn tại của dãy số liên tục. Tuy vậy 25 năm sau, P.J. Kean lại đưa ra kết luận rằng không thể chứng minh trọn vẹn định lý trên. Nghiên cứu của Gedeer và Kean được coi là 2 dấu nhấn đậm nét của ngành toán học trong thế kỷ XX. Đồng thời nó khẳng định tính độc lập giữa tiên đề ZF và dãy số liên tục. Từ đó dãy số liên tục bị đổi tên là ''giả thiết về sự tồn tại của dãy số liên tục''.
Cũng có không ít nhà toán học không thật chắc chắn về ''dãy số liên tục''. Vì thế họ ra sức tìm kiếm một định lý khác thay cho nó. Họ - các nhà khoa học vẫn đang mải mê tìm ra ẩn số của bài toán hóc búa này.
