SỐ NGUYÊN VÀ SỐ CHẴN LIỆU CÓ NHIỀU NHƯ NHAU KHÔNG?
Khi được hỏi: ''Số nguyên và số chẵn có nhiều như nhau không?'' Rất nhiều bạn học sinh trả lời rằng: không thể nhiều bằng nhau được. Vì số chẵn là một bộ phận của số nguyên. Một số bạn trả lời “nhiều như nhau” xong không tin tưởng vào câu trả lời của mình lắm. Để chứng minh cho ý kiến ''số nguyên và số chẵn có quan hệ đối ứng 1:1'', một cậu học sinh đã viết lên bảng 2 dãy số.
... –n ... -2 -1 0 1 2... m...
...-2n... -4 -2 0 2 4... 2m...
Vấn đề nêu ra ở trên thực chất yêu cầu ta so sánh 2 tập hợp: tập hợp các số nguyên và tập hợp các số chẵn. Nhưng nếu so sánh 2 tập hữu hạn ta có thể đếm phần tử, xác định độ lớn, nhỏ còn tập vô hạn làm sao có thể liệt kê tất cả các phần tử của chúng ra?
Có một số quy tắc đoán phạm vi giữa hai tập hợp rất gần với các khái niệm thực tiễn.
Bộ phận nhỏ hơn chỉnh thể (theo cách nóicủa lý thuyết tập hợp thi tập hợp con nhỏ hơn tập hợp mẹ).
Hai tập hợp có thể tạo ra quan hệ đôi ứng 1- 1 thì 2 tập hợp này lớn như nhau. Hai cách quy tắc trên đã mở rộng khái niệm của quy tắc giản đơn thành khái niệm tập hợp vô hạn.
Quy tắc (2) là quy tắc mang tính bản chất. Mọi người chưa một ai nhìn thấy số 3 (không tính trên sách vở, in trên vật thể...) Nhưng ta lại có thể nhìn thấy 3 con chó, 3 người, 3 quyển sách - tập hợp của những sự vật có tổng số bằng 3. Đặc điểm chung của các tập hợp trên đó là có cùng chung số 3. Ba tập hợp trên có quan hệ đối ứng 1 - 1. Khi ta thay tập hợp 3 người thành ''tập hợp 4 người'' thì không còn quan hệ đối ứng nữa. Bởi 3 người và 3 chó tạo ra quan hệ 3 người dắt 3 con chó, 3 người và 3 quyển sách tạo ra quan hệ 3 người đọc 3 quyển sách...
Mở rộng phương pháp tư duy này để áp dụng vào nghiên cứu phạm trù tập vô hạn có thể xây dựng nên lý luận phạm vi tập hợp. Nếu tập hợp A có quan hệ đối ứng 1 - 1 với tập hợp B. Ta nói A và B có cùng số lượng phân tử. Nếu như A có quan hệ tương ứng với C, C là con của B thì A < B. Từ đây mới hình thành nên khái niệm “cơ số”. “Cơ số” mở rộng khái niệm số nguyên trong tập hợp hữu hạn. Vậy, có thể thấy tập N (số tự nhiên) là tập hữu hạn nhỏ nhất. Trong tập vô hạn không thể liệt kê mọi phần tử. Giữa tập N và tập hữu hạn tồn tại quan hệ 1-1. Cơ số của tập vô hạn được ký hiệu là 8 cơ số của tập N được ký hiệu là 8o
Chúng ta chỉ cần xếp dãy trong tập hợp số chẵn thành một chuỗi có dạng 0, 1, -1,2, - 2, 3, -3... thì đã tạo ra 1 quan hệ đối xứng giữa tập tự nhiên và tập số chẵn. Ngoài ra, còn có thể chứng minh được rằng các cơ số trong tập hợp ''lý số'' cũng có dạng 8o. Thực tế cho thấy những cơ số tồn tại thực không có dạng 8o. Chúng ta sẽ chứng minh điều này ở các phần sau.
Số đếm vô hạn là sự mở rộng số đếm hữu hạn và giữa chúng có một số điểm khác.
Ví như 1 tập vô hạn có thể có cùng cơ số vôi các tập hữu hạn. Nhưng không thể tùy tiện mở rộng cơ số hữu hạn thành cơ số vô hạn.
