CHUYỂN ĐỘNG CỦA CÁC CHẤT LỎNG VÀ CHẤT KHÍ
Mô tả chuyển động của chất khí hay chất lỏng khó hơn nhiều so với giải các bài toán thủy tĩnh học, bởi vậy lý thuyết chuyển động của các chất lỏng và chất khí mới chỉ được bắt đầu nghiên cứu gần đây. Mặc dầu thuỷ khí động học dựa trên ba định luật bảo toàn đã biết tường tận trong cơ học là định luật bảo toàn các đại lượng: khối lượng, xung lượng và năng lượng cách phát biểu chúng ở đây có phần phức tạp hơn. Chẳng hạn định luật bảo toàn khối lượng thường được phát biểu là: khối lượng của một hệ là không đổi. Đối với chất lỏng chảy trong ống, người ta dùng định luật nào dưới dạng (gọi là phương trình liên tục):
vS = const
Ở dây v là vận tốc chất lỏng, S là diện tích tiết diện ống có chất lỏng chảy trong đó. Có thể phát biểu định luật này như sau: có bao nhiêu chất chảy vào một dung tích, trong trường hợp này là chảy vào ống, cũng có chừng ấy chất lỏng chảy ra khỏi dung tích đó nếu các điều kiện chảy không thay đổi. Vận tốc trong các đoạn ống hẹp phải lớn hơn vận tốc trong các đoạn ống rộng.
Nếu xét xem, dòng không khí đều chảy bao quanh tiết diện cánh của một máy bay vận tốc dưới âm hay hạ thanh (vận tốc nhỏ hơn tốc độ truyền âm thanh) như thế nào thì ta thấy rõ rằng ở phía dưới cánh các đường chảy (các đường tiếp tuyến với các vecto vận tốc của dòng chảy) bị bẻ cong không mạnh lắm, ở đó mức tăng vận tốc không lớn. Phía trên cánh dòng không khí biến đổi mạnh hơn nhiều, ở đó các đường chảy bị ép lại và vận tốc lớn hơn nhiều so với vận tốc ở trong chính dòng chảy.
Một trong những phương trình quan trọng nhất của cơ học chất lỏng đã được nhà bác học Thụy Sĩ Daniel Bernoulli tìm ra vào năm l738. Lần đầu tiên ông mô tả được chuyển động của chất lỏng lý tưởng không nén được (không có các lực ma sát giữa các phần tử chất lỏng lý tưởng, cũng như giữa chất lỏng lý tưởng và thành bình). Phương trình Bernoulli có dạng:
Ở đây p là áp suất chất lỏng, S là mật độ của nó, v là vận tốc chuyển động, g là gia tốc rơi tự do và h là độ cao ở đó có phần tử chất lỏng.
Phương trình Bernoulli biểu thị định luật bảo toàn năng lượng và điều kiện liên tục của dòng chảy chất lỏng lý tưởng. Cũng như đối với phương trình liên tục, người ta giả thiết rằng chất lỏng chảy trong một ống nào đó (ống dòng), tiết diện ống thay đồi đều và bức tranh về dòng chảy không thay đổi theo thời gian (dòng chảy dừng). Sau thời gian 
phần tử chất lỏng có khối lượng:
hạ độ cao từ mức h1 xuống mức h2, còn vận tốc của nó tăng từ v1 đến v2. Gia số động năng của phần tử chất lỏng bằng:
Thay đổi thế năng cũng của phần tử này bằng:
Công của áp lực thực hiện trên phân tử chất lỏng khi dịch chuyển nó, bằng:
Ta hãy viết định luật bảo toàn năng lượng:
Sau khi đặt các biểu thức 
và 
vào đây rồi đơn giản hóa ta được
hay:
Trong phương trình này tất cả các số hạng đều có thứ nguyên áp suất và lần lượt được gọi là: p - áp suất tĩnh, 
- áp suất động, pgh - áp suất trọng lượng. Có thể nhận thấy rằng khi không có vận tốc phương trình Bernoulli biến thành dạng thủy tĩnh. Sự thay đổi vận tốc theo định luật thứ hai của Newton, do ảnh hưởng của lực tác dụng vào chất lỏng, trong trường hợp này thì đó sẽ hoặc là trọng lực mg, hoặc là hiệu số các áp lực tác dụng lên thể tích chất lỏng đang chảy. Trong phương trình Bernouilli có ba số hạng: là động năng của đơn vị thể tích chất lỏng đang chuyển động pgh là thế năng của đơn vị thể tích chất lỏng. Hai số hạng này đúng y như hai số hạng trong phương trình bảo toàn năng lượng đối với chất điểm. Đặc thù của cơ học chất lỏng được biểu hiện ở sự có mặt của áp suất p, đó là độ chênh áp suất ở các phần khác nhau của ống (hay ống dòng) buộc chất lỏng phải chuyển động có gia tốc và chính vì vậy mà trong công thức Bernoulli ngoài động năng và thế năng của đơn vị thể tích chất lỏng còn có thêm có áp suất.
Do đó, nếu ống dẫn (hay ống dòng) được chế tạo thế nào để áp suất trong ống vẫn không đổi thì phương trình Bernoulli đối với chất lỏng là trùng với định luật bảo toàn năng lượng đối với chất điểm. Nếu ống có cấu tạo thế nào đó để không phải tính tới sự thay đổi của độ cao h (do mật độ vật chất nhỏ hay 
do sự thay đổi chiều cao ít), thì kết quả sẽ hơi bất
ngờ. Phù hợp với phương trình liên tục vận tốc ở những đoạn ống hẹp tăng lên nghĩa là ở đó áp suất phải giảm. Đó là một kết quả tự nhiên vì sự tăng vận tốc (gia tốc) chỉ có thể phát sinh do sự chênh áp suất và ở đầu vận tốc lớn thì ở đó áp suất phải bé. Bởi vậy, khi vận chuyển chất lỏng qua ống dưới áp suất lớn thì câu ngạn ngữ phương Tây ''ở đâu mỏng ở đó dễ vỡ'' (tương tự như câu châm ngôn ''già néo đứt dây'' của ta) lại đúng theo hướng trái ngược. Áp suất cực đại trong ống sẽ xảy ra chính ở nơi mà ống có tiết diện lớn nhất: ở đây vật liệu làm ống có thể không giữ được chất lỏng nữa và bị vỡ ra. Về mặt này thì các phần ống hẹp lại an toàn, nhưng ở đó áp suất có thể giảm đến mức chất lỏng bắt đầu sôi và điều đó cũng dẫn đến lảm hỏng vật liệu ống.
Phương trình Bernoulli giải thích được một cách đơn giản nhiều hiện tượng diễn ra trong chất lỏng và chất khí. Chẳng hạn ta nhớ lại cánh máy bay được một luồng không khí đều chảy bao quanh. Ngay cả khi cánh không có góc tấn, nghĩa là góc nghiêng của dây cung cánh so với hướng tới của dòng khí thì vẫn có một lực nâng hướng lên trên. Lực này ở đâu ra? Chính là nhờ biên dạng cánh máy bay như thế phù hợp với phương trình liên tục mà vận tốc không khí dưới cánh nhỏ hơn vận tốc không khí phía trên cánh.
Theo phương trình Bernoulli điều đó có nghĩa là áp suất ở phía dưới cánh máy bay lớn hơn áp suất ở phía trên cánh máy bay. Hiệu áp suất này sinh ra lực nâng.
Thuyền trưởng các tàu biển và tàu sông đều biết rành rọt ''biểu hiện ác độc của các áp suất mô tả trong phương trình Bernoulli: nếu hai tầu đi theo hướng song song nhau và rất gần nhau sẽ xuất hiện lực thủy động làm chúng xô vào nhau kết quả là có thể xảy ra đắm tàu. Công thức Bernoulli cho ta hiểu được tại sao lại xuất hiện lực này. Từ định luật liên tục, suy ra rằng, vận tốc tương đối của luồng nước giữa hai con tàu sẽ lớn hơn vận tốc từ phía ngoài. Điều đó được thể hiện ở chỗ áp suất của luồng nước lên các tàu trong khoảng không gian giữa chúng là thấp hơn so với áp suất từ phía ngoài vào. Chính độ chênh áp suất lên các mạn tàu khác nhau tạo ra lực xô đẩy chúng vào nhau.
Hiện tượng tạo hốc cũng được giải thích bằng phương trình Bernoulli. Nếu vận tốc dòng chảy vì một nguyên nhân nào đó bị tăng lên đáng kể thì áp suất sẽ giảm xuống mạnh, có khi đến mức chất lỏng bắt đầu sôi. Có thể có được vận tốc như thế nếu cho chất lỏng chảy qua một đoạn ống rất hẹp. Chân vịt tàu khi quay nhanh cũng tạo ra các vận tốc lớn. Quá trình tạo các bọt nước (hốc) trong một chất lỏng chuyển động do áp suất tụt xuống được gọi là hiện tượng tạo hốc. Có vẻ như các bọt nước vô hại không có gì đáng sợ tuy nhiên chẳng mấy chốc chúng rơi vào vùng chất lỏng có áp suất bình thường và ở đó chúng va nổ. Sự va nổ bong bóng này kéo theo các hiệu ứng thủy động lực học, có khả năng làm hư hại nhanh và phá hỏng chân vịt tàu hay phá hỏng ống dẫn chất lỏng.
Định luật Bernoulli cho phép đo vận tốc chuyển động của chất lỏng hay chất khí bằng một áp kế, dụng cụ để xác định áp suất chất lỏng hay chất khí.
Có thể tính được vận tốc nước chảy ra từ một bình rộng nếu gần đáy bình ta mở một lỗ nhỏ: 
, ở đó h là độ cao mức chất lỏng trong bình. Công thức này, được biết đến với tên gọi định luật Torricelli, cũng suy ra được từ phương trình Bernoulli.
Có thể dễ dàng thực hiện ngay tại nhà của bạn một vài thí nghiệm được giải thích nhờ định luật Bernoulli. Ví dụ nếu hướng tia nước từ một vòi nước thẳng đứng lên phía trên (nhờ một ống cao su) và đặt lên đó một quả bóng bàn, thì quả bóng được giữ trên ngọn cột nước. Có thể thay tia nước bằng luồng không khí thổi ra từ một máy hút bụi (ống mềm của máy hút bụi phải được nối với phía nén thổi không khí còn quả bóng bàn được thay bằng quả bóng tennit. Ngay cả khi dòng nước lệch khỏi phương thẳng đứng chút ít quả bóng vẫn được giữ trên tia nước. Để nâng được một tờ giấy khỏi bề mặt xù xì ta phải thổi vào nó bằng một ống hình phễu.
DANIEL BERNOULLI
Nhà bác học Thụy Sĩ Daniel Bernoulli xuất thân từ một gia đình gốc Hà Lan mà nhiều thành viên trong gia đình đã trở thành các nhà toán học và vật lý học nổi tiếng. Những đại biểu lớp trước của gia đình kiệt xuất này - hai anh em Jakob Bernoulli (1654 - 1705) và Johann Bernoulli (1667 - 1748) đều là học trò và bạn hữu của Gottfried Wilhelm Leibntiz và đã tham gia vào việc soạn thảo phép tính các lượng vô cùng bé do ông đề xướng.
Jakob Bernoulli, trong khi nghiên cứu các bài toán cơ học riêng về xác định dạng của đường đoản thời, nghĩa là đường cong đi xuống nhanh nhất, đã lập ra cả một hướng nghiên cứu của giải tích toán là phép tính biến phân. Ông là người lần đầu tiên đã sử dụng sự tương tự giữa chuyển động của vật trong trường trọng lực và chuyển động của tia sáng trong một môi trường không đồng nhất (sự tương tự cơ - quang), đóng vai trò quan trọng nhất trong sự phát triển vật lý. Trong tác phẩm ''Nghệ thuật của các giả định'' (xuất bản năm 1713 sau khi ông mất), Jakob Bernoulli đã trình bày những nguyên lý đặt nền móng cho lý thuyết xác suất (được gọi là phân bố Bernoulli, sơ đồ độc lập của các phép thử Bernoulli).
Em trai và học trò của Jakob là Johann Bernoulli đã hoàn thành việc lập ra phép tính tích phân và sử dụng các phương pháp biến phân vào việc giải các bài toán hình học. Ngoài ra, ông đã đưa vào khái niệm công và phương pháp xác định hình dạng đường dây xích của ông đã trở thành cơ sở của tĩnh học các công trình.
Con trai Johann là Daniel Bernoulli (1700 - 1782) có quyền được xem là đại biểu xuất sắc nhất của dòng họ danh tiếng này. Thời thơ ấu của Daniel, (ông sinh ra ở Groningen), đã trôi qua trong hoàn cảnh điển hình đối với gia đình của một người đàn ông bác học vững vàng và tự tin. Johann là một người cha nghiêm khắc, nhưng chu đáo và là người thầy của Daniel. Ngoài các bài giảng đều đặn về toán học ở trường đại học, ông cũng đã đọc giáo trình vật lý thực nghiệm (cũng như ông anh Jakob trước đây). Các bài giảng của Johann Bernoulli về môn học mới này vào lúc đó rất nổi tiếng. Giai đoạn sáng tạo này của Johann Bernoulli hầu như được lặp lại y hệt trong số phận của Daniel khi người con làm việc ở Viện hàn lâm khoa học Petersburg: cũng những nghiên cứu có hệ thống về toán học, cũng với sự quan tâm sâu sắc tới các bài toán thực hành của vật lý thực nghiệm.
Tốt nghiệp trường đại học tổng hợp Basel năm 1716 và nhận học vị thạc sĩ triết học, Daniel theo lời khuyên của cha khởi đầu nghiên cứu y học ở Basel và sau đó tiếp tục các công việc về y ở Heidelberg và Strasbourg. Năm 1721 ông nhận được học vị giảng viên y học, và đến năm 1724 xuất bản công trình đồ sộ đầu tiên ''Các bài tập toán''. Phần lớn trong công trình này dành cho bài toán về sự chảy khỏi bình. Từ quan điểm y học, Bernoulli quan tâm đến bài toán xác định vận tốc chuyển động của chất lỏng (máu) trong huyết quản, ảnh hưởng của huyết áp tới tính chất của chuyển động này, v.v… Trong y học, chàng trai Daniel lĩnh hội được sự đa dạng của các bài toán, đi sâu vào bản chất vật lý của chúng, tìm kiếm một cách bán trực giác cách tiếp cận tối ưu để giải quyết chúng. Tuy nhiên ý nghĩa những bài toán này lại có tính thuần túy thủy động lực học. Sau này trong cuốn “Thủy động lực học” (1783), những bài toán này đã được phát triển thêm nhiều: vẫn những lập luận như thế đối với việc phân nhỏ chất lỏng thành ''các giọt'', vẫn cách lý giải ấy từ quan điểm của nguyên lý cân bằng tác dụng và phản tác dụng v.v...
Năm 1725 Daniel Bernoulli cùng với một nhóm nhà khoa học nước ngoài khác được mời làm thành viên danh dự của Viện hàn lâm khoa học Petersburg. Trước năm 1730 ông làm việc tại khoa sinh lý, còn thời kỳ từ năm 1730 đến 1733 ông làm trưởng khoa toán học thuần lý. Năm 1733 Daniel trở lại Basel và đứng đầu khoa giải phẫu học và thực vật học ở trường đại học Basel, còn từ năm 1750 là trưởng khoa vật lý thực nghiệm và ông ở cương vị này cho tới cuối đời.
Daniel là một trong những nhà vật lý và toán học xuất sắc nhất của thế kỷ XVIII. Viện hàn lâm khoa học hoàng gia Pháp đã mười lần trao giải thưởng cho ông vì các công trình xuất sắc trong toán học và vật lý học, còn năm 1734 cùng cha mình là Johann ông được nhận được giải thưởng đôi về tuyển tập ''Bàn về nguyên nhân gây ra sự lệch khác nhau của các quỹ đạo hành tinh đối với xích đạo Mặt Trời''. Trong các ''Tuyến tập công trình'' của các Viện hàn lâm Petersburg, Paris và Berlin, mà ông là thành viên, đã công bố nhiều công trình nghiên cứu của ông.
Những vấn đề khoa học chính mà Daniel Bernoulli quan tâm là: thủy động lực học lực, lý thuyết động lực học chất khí và lý thuyết dao động. Ông đã kiến giải định luật Boyle - Mariotte, đã đưa ra phương trình vi phân cho các dao động của dây và tìm được lời giải của nó dưới dạng các sóng chạy. Trong tác phẩm chính của mình ''Thủy động lực học, giải thích các lực và chuyển động của chất lỏng'' cũng như trong nhiều hồi ký, Daniel Bernoulli đã phát triển các quan niệm của Leibniz về các hoạt lực (theo ngôn ngữ khoa học hiện đại, khái niệm này ứng với động năng). Khi áp dụng chúng cho các phần tử của môi trường liên tục, ông đã nêu ra phương trình chuyển động dừng của chất lỏng lý tưởng: phương trình Bernoulli.
