CÁC PHƯƠNG TRÌNH MAXWELL
Vào năm 1938 các cộng tác viên của thư viện Hội Hoàng gia London khi mở lưu trữ của Faraday đã tìm thấy một cái phong bì ngả vàng đề năm 1832 với dòng chữ: ''Những quan điểm mói thuộc kho lưu trữ của Hội Hoàng gia. Trong phong bì là thông điệp mà Faraday gửi cho hậu thế xa xôi của ông. Trong đó ông thông báo về lòng tin chắc chắn của mình vào sự tồn tại sóng điện từ và than thở rằng người đương thời không chia sẻ với ông quan điểm ấy. Faraday viết: ''Tôi đi đến kết luận rằng việc lan truyền tác động từ tính cần phải có thời gian, mà có lẽ là rất bé nhỏ. Tôi cũng cho rằng cảm ứng điện được truyền bằng cách tương tự. Tôi cho rằng sự truyền lực từ tính từ một từ cực giống như sự dao động trên mặt nước gợn sóng. Theo sự tương tự tôi cho rằng có thể ứng dụng lý thuyết dao động cho sự lan truyền cảm ứng điện''.
Cái từ có ý nghĩa trong bức thư ấy chính là chữ “tương tự”. Chính dựa vào sự tương tự giữa sự truyền tác dụng điện từ và sự lan truyền nhiễu động trên mặt nước mà Faraday rút ra kết luận cơ bản nói trên. Phương pháp tương tự đóng vai trò quyết định cả trong công trình của Maxwell để tạo ra lý thuyết trường điện từ mà ống xây dựng với việc sử dụng rộng rãi mô hình cơ học.
Maxwell từng viết: ''Trước khi bắt tay nghiên cứu điện tôi quyết định không đọc một công trình toán học nào về vấn đề này cho đến khi đọc xong hết các nghiên cứu thực nghiệm của Faraday về điện. Tôi cũng biết rằng có ý kiến từng được phát biểu về sự khác nhau giữa phương pháp Faraday tìm hiểu các hiện tượng và phương pháp của các nhà toán học hóa ra là cả Faraday cũng như các nhà toán học đã không hài lòng với ngôn ngữ tư duy của nhau''.
Maxwell là người đầu tiên thấu hiểu sự sâu sắc của tư của tưởng Faraday. Vẻ đẹp tuyệt vời của tư duy biểu tượng của nhà nghiên cứu vĩ đại khiến Maxwell trở thành người đồng minh nhiệt thành của Faraday. Nhưng khi đã tiếp nhận bức tranh trực quan của các đường sức để mô tả các quá trình điện từ trong không gian xung quanh thì Maxwell lại đồng thời không nghi ngờ gì vào bản chất cơ học của các quá trình đó, mà ông từng giả thuyết là được diễn ra trong một môi trường đàn hồi nào đó, là ête.
Nhà khoa học đặt mục tiêu tạo ra lý thuyết về ête, liên kết các đặc tính cơ học của nó với các lực điện và từ. Nghiên cứu tỉ mỉ các công trình của Faraday ông đi đến kết luận rằng cường độ điện trường e được giải thích bằng sức căng đàn hồi trong ête, còn cảm ứng từ B thì bằng chuyển động xoáy của ête.
Khi chọn cách giải thích cơ học cho các trường 
và 
. Maxwell chuyển định luật cảm ứng điện từ Faraday về dạng:
(1)
Khi xem xét vòng dây dẫn khép kín C ở đó có tác dụng một sức điện động cảm ứng 
để tìm số đường sức được vòng dây xoắn cắt ngang qua sau thời đoạn 
Maxwell cho ''căng'' lên đó một mặt S, chia thành các diện tích nguyên tố 
và cho đồng nhất 
với từ thông xuyên qua toàn bộ bề mặt đó, tức là ông cho rằng:
(2)
Kết hợp (l) và (2) Maxwell đi tới công thức của định luật cảm ứng điện từ
(3)
trong đó hệ số tỉ lệ 
trong (1) được thay bằng 1/c để làm cho (3) phù hợp với định luật Biot - Savart - Laplace, vốn có hằng số điện động lực c.
Nhưng trong các thực nghiệm Faraday sức điện động ghi nhận được trong vòng dây C khi vòng dây chuyển động cũng như khi đứng yên (trong trường hợp sau nó ở trong từ trường biến đổi). Và ở đây phát sinh câu hỏi về bản chất các lực từ bên ngoài làm chuyển động các diện tích có trong dây dẫn đứng yên. Vì các lực từ không tác dụng lên điện tích đứng yên, chỉ còn khả năng duy nhất là: dòng cảm ứng phải được gây ra bởi điện trường 
Song theo định lý cơ bản của tĩnh điện học thì công của trường tĩnh điện khi chuyển vận một điện tích (từ chỗ này đến chỗ khác) đi theo một quỹ đạo kín bất kỳ thì bằng không. Vậy nên trong vòng dây khép kín sẽ được kích thích (bởi từ trường) không phải là một trường tĩnh điện (trường thế) mà là một trường ''xoáy'' và công của nó bằng sức điện động
Định luật cảm ứng điện từ Faraday khi đó sẽ được viết dưới dạng tổng quát nhất:
(4)
Mô hình Maxwell của các dòng xoáy phân tử. Tác giả đã dùng nó để nhận được hệ phương trình trường điện từ. Hình vẽ lấy từ loạt các công trình của ông mang tiêu đề chung “Về các đường sức vật lý” (1861 - 1862)… AB là dòng điện. Các hình lục giác trên và dưới AB là các xoáy, còn các vòng tròn nhỏ ngắn cách các hình lục giác chính là… điện”. Khi có dòng điện chạy qua, các “bánh xe” trên đường AB làm quay các xoáy, và chúng truyền dòng điện đi tiếp qua các “bánh xe” khác… Các trục xoáy hướng theo đường sức từ trường, với tốc độ góc quay của xoáy tỉ lệ với cường độ từ trường.
Tích phân bên vế trái của phương trình được gọi là lưu số của vectơ theo vòng dây dẫn khép kín C (vì thế dấu tích phân có vòng tròn ở giữa), còn ở vế phải là vận tốc biến thiên của từ thông , được tính như tích phân theo bề mặt S, “căng” trên vòng dây C. Chính ở dạng tổng quát hóa như thế mà định luật cảm ứng điện từ đã bước vào hệ thống các phương trình Maxwell. Để tạo hình thức cần thiết cho định luật Faraday - sao cho che giấu đi thông số lộ liễu về các vật dẫn cụ thể và chuyển động của chúng - mà chỉ còn giữ lại sự phụ thuộc vào đặc trưng của các trường và 
Maxwell phân vân rất nhiều về nguồn gốc của từ trường hóa ra các điện trường được sinh ra bởi các điện tích cũng như bởi từ trường biến đổi, còn các từ trường thì chỉ sinh ra bởi điện tích chuyển động. Biết đâu ngay cả các điện trường biến thiên cũng có thể tạo ra từ trường? Maxwell đã cố gắng tổng quát hóa định luật Ampère để tìm lời giải đáp cho câu hỏi ấy.
Theo định luật Ampère, lưu số của từ trường 
tỉ lệ với cường độ dòng I:
(5)
Phát triển tư tưởng của Faraday về sự phân cực điện môi trong trường điện biến thiên, Maxwell đã tổng quát hoá định luật Ampère cho trường hợp các dòng điện không dùng l(t). Ông nghiên cứu sự phóng điện của tụ điện chứa đầy chất điện môi, phóng qua một dây dẫn nối các tấm cực, và nhận thấy rằng: nếu trong dây dẫn tiết diện S các điện tích chuyển động với vận tốc 
(
là độ dịch của chúng) và cường độ dòng điện dẫn biểu thị bằng công thức:
(6)
(
là mật độ diện tích) thì trong điện môi phát sinh các dòng điện làm dịch chuyển các điện tích. Maxwell gọi các dòng đó là các dòng dịch và mô tả bằng công thức tương tự với (6):
ldịch=kS
(7)
Với 
là độ dịch của các điện tích, k là hệ số tỉ lệ.
Maxwell tìm ra vectơ độ dịch 
trong biểu thức (7) là nhờ lý thuyết đàn hồi.
Theo định luật Hooke độ dịch tỉ lệ với sức căng đàn hồi mà vai trò của nó theo Maxwell là giống hệt cường độ điện trường 
nghĩa là 
với 
là độ thẩm điện môi, tiêu biểu cho chất điện môi.
Tóm lại định luật Ampère có dạng tổng quát hóa như sau:
(8)
Khi kết hợp định luật Ampère (8), định luật cảm ứng điện từ, định lý Gauss đối với các điện tích và từ tích Maxwell đi tới một hệ thống phương trình:
(9)
Hệ phương trình Maxwell (9) mô tả tiến trình của trường điện từ. Không thể không nhắc tới ý nghĩa to lớn của mô hình cơ học được Maxwell sử dụng để rút ra các phương trình. Đặc biệt chính ông đã nói về điều đó trong công trình ''Lý thuyết động lực của trường điện từ''. Công nhận sự cần thiết và tính hữu ích của giả thuyết về sự tồn tại của một môi trường đàn hồi thấm khắp nơi - ête, nhưng ông cũng cho biết: ''Trong báo cáo này tôi cố tránh mọi giả thuyết loại ấy và nếu phải sử dụng các từ như: động lượng điện từ hay độ đàn hồi điện liên quan những hiện tượng đã biết (về cảm ứng dòng, phân cực của điện môi, v.v...) tôi chỉ muốn hướng ý nghĩ của độc giả tới các hiện tượng cơ học để chúng giúp họ hiểu được các hiện tượng điện. Tất cả các biểu tượng như thế trong bài này chỉ nên xem là để minh họa, chứ không phải để giải thích''. Nói khác đi Maxwell đã công nhận rằng mô hình cơ học chỉ đóng vai trò phụ trợ trong lập luận của Ông. Nó cho phép thụ được các hệ thức đúng đắn mô tả được các quá trình phức tạp về diễn tiến trường điện từ như một thực thể vật chất độc lập: ''lý thuyết mà tôi đề nghị - Maxwell viết - có thể gọi là lý thuyết trường điện từ vì rằng nó đụng chạm đến không gian, bao quanh các trường điện và trường từ. Nó cũng có thể được gọi giả định là trong lý thuyết động lực học, vì nó giả định là trong không gian, có vật chất đang chuyển động và vì thế mới sinh ra các hiện tượng điện từ quan sát được. Khó có thể bác bỏ ý kiến của Hertz cho rằng ''điều chủ yếu trong lý thuyết của Maxwell chính là các phương trình Maxwell''. Nhờ chúng người ta đã mô tả được phạm vi rất rộng lớn các hiện tượng diễn ra ở quy mô vũ trụ bên trong các ngôi sao và hành tinh, cũng như trong thế giới vi mô trong lòng nguyên tử.
CÁC ĐƠN CỰC TỪ: HY VỌNG VÀ THỰC TẾ
Vào năm 1981 các nhà vật lý kỷ niệm 50 năm một sự kiện đặc biệt không được ghi công bất cứ cuốn lịch chính thức nào: đó là nói về các đơn cực từ một ý tưởng lý thuyết ra đời năm 1931. Mặc dù rằng chưa từng có sự khẳng định thực nghiệm nào của ý tưởng ấy (không có một đơn cực từ nào được ghi nhận cho đến nay), song nó đã kích thích sự phát triển các phương hướng mới, không chỉ trong vật lý học, trong toán học. Các nhà vật lý bắt đầu làm chủ những công cụ toán học phi chính tắc của tôpô đại số: môn toán tôpô thực sự được quan tâm là vì các vấn đề vật lý: Có lẽ chưa bao giờ một ''mơ ước không trở thành hiện thực'', có sức sáng tạo đến thế!
Vấn đề đơn cực từ là ví dụ rõ rệt về tính bất công và bất nhất đáng kinh ngạc của Tự nhiên. Sự đối xứng tuyệt diệu của điện và từ chỉ mới được khám phá vào giữa thế kỷ XIX trong các thực nghiệm của Faraday: bất kỳ hiện tượng điện nào cũng luôn thấy được hiện tượng tương xứng như nhìn qua gương vậy. Nhưng có một điều kỳ lạ: điện thì có nguồn là các điện tích, còn các từ tích thì lại không tồn tại. Có thể chia nhỏ tùy ý một nam châm, ở mọi mẫu cắt ra bao giờ cũng có đủ hai cực từ. Theo ngôn ngữ vật lý điều đó có nghĩa là trong tự nhiên chỉ có các hệ từ lưỡng cực (dipole) mà không có cực cô lập là đơn cực (monopote).
Trong hệ phương trình Maxwell làm nền tảng cho lý thuyết đến từ cũng có đủ hai phương trình. div = 4n và div = 0, với và là các cường độ điện trường và từ trường tương ứng, còn ký hiệu “div” là toán tử của giải tích vectơ, divergence - tức ''sự tản” của vectơ '' (hoặc ) và đặc trưng cho mức độ phát tán hay mức độ dồi dào của các nguồn trường. Ở vế phải của phương trình thứ nhất có mật độ khối của đện tích.
Từ phương trình thứ hai suy ra rằng, mật độ từ tích bằng không. Nói khác đi, không có nguồn cho từ trường. Trong tất cả các phương trình Maxwell còn lại thì các trường điện và từ xuất hiện hoàn toàn đối xứng. Nảy sinh câu hỏi: Vì sao tự nhiên lại cần phải cân xứng lộ liễu đến thế trong quan hệ giữa các nguồn của điện trường và nguồn của từ trường? Hoặc có thể chăng là có tồn tại các đơn từ cực song do những nguyên nhân nào đó mà chúng không thể bộc lộ ra được? Nếu thế thì nguyên nhân là do đâu?
Một trong những người đầu tiên quan tâm tới bài toán đơn cực từ là một kỹ sư, nhà vật lý kiêm toán học người Anh Oliver Heaviside (1850 - 1925), người còn để lại dấu ấn rõ rệt không chỉ trong vật lý mà cả trong toán học khi sáng tạo ra phép tính toán tử. Nhìn thấy trong toán học một thứ khoa học thực nghiệm sâu sắc Heaviside đã nhận được tất cả các mệnh đề phép tính toán tử một cách kinh nghiệm luận.
Có thể nói chính Heaviside và Heinrich Hertz đã tạo cho các phương trình Maxwell cái hình thức hiện tại của chúng như là 4 hệ thức véctơ. Trong giới khoa học Heaviside nổi tiếng một người ẩn dật kỳ quặc với các kết luận và cách tiếp cận rất thông minh, có thể là đúng, nhưng thoạt nhìn thì không mấy thuyết phục và thường là thiếu cơ sở. Bởi thế các tạp chí hiếm khi dám nhận đăng bài của ông. Bản thân Heaviside không muốn mất thời gian và sức lực cho việc chứng minh đối với ông chỉ kết quả mới là quan trọng. Và trong số lớn trường hợp các kết luận của Heaviside ra là đúng đắn nhưng... luôn đi trước thời đại! Một trong số hiếm hoi công trình được xuất bản của ông năm 1891 là dành cho vấn đề đơn cực từ. Ông đã viết lại các phương trình tổng quát của Maxwell ở dạng hoàn toàn đối xứng - với đủ điện tích và từ tích. Nhưng bài báo đã không được để ý đến và không có đoạn tiếp tục.
Đầu thế kỷ XX nhà khoa học Áo Felix Ehrenharft (1879 - 1952) xuất bản hơn 50 công trình trong suốt 20 năm, cố khai mở vấn đề đơn cực từ. Ehrenharft khẳng định trong trong các thực nghiệm ông quan sát được từ tích. Ông đặt các hạt sắt vào từ trường và chiếu chùm ánh sáng mạnh lên chúng. Khi đó các hạt bị thay đổi quỹ đạo, chuyển động theo cách tựa hồ ánh sáng đã bứt khỏi chúng các từ tích vậy. Về sau nhiều nhà vật lý đã lặp lại thí nghiệm của Ehrenhaltt nhưng sự chuyển động dị thường của các hạt sắt dưới tác dụng của ánh sáng (hiệu ứng Ehrenharft) cho đến nay vẫn chưa có được giải thích hợp lý và cũng không quan sát được dù là dấu vết của các từ tích được bứt ra''.
Cuối cùng, vào năm 1931, có một người dám dấn thân khôi phục sự bình đẳng giữa các từ tích và điện tích trong điện động lực học, đó là một trong số các nhà vật lý lý thuyết chói sáng nhất, độc đáo nhất, một người Anh: Paul Adrien Maurice Dirac (1902 - 1984). Ông đi tới ý tưởng đơn cực từ khi cố gắng tìm lời giải cho câu hỏi: ''Vì sao các điện tích luôn luôn là bội số lần điện tích electron''? Quả vậy, các đặc trưng khác của hạt (như khối lượng, năng lượng, xung lượng v.v...) có thể nhận giá trị tùy ý không bị một hạn chế nào, chỉ riêng đến tích là phải đúng số nguyên lần điện tích của electron hoặc không có điện tích. Các nhà vật lý nói rằng “điện tích bị lượng tử hóa ngay ở quy mô cổ điển”. Nguyên nhân sự lượng tử hóa ấy là do đâu?
Trong bài báo ''Các dị thường lượng tử trong điện từ trường” (năm 1931) Dirac đã chỉ rõ rằng giả thuyết đơn cực từ không mâu thuẫn với các mệnh đề của điện động lực học Maxwel (là điều mà Heavislde đã khẳng định) trong trường hợp nếu thoả mãn được điều kiện 
với e là điện tích, 
là từ tích, c là tốc độ ánh sáng, n là một số nguyên, h là hằng số Planck. Có nghĩa là nếu đơn cực là tồn tại thì từ công thức đã nêu, được gọi là điều kiện lượng tử hóa của Dirac, suy ra ngay tính lượng của các điện tích hạt. ''Xét trên quan điểm này thì thật đáng ngạc nhiên là lẽ nào Tự nhiên đã không sử dụng khả năng ấy'' - Dirac từng phấn khích thốt lên như vậy khi kết luận bài báo của mình. Đơn cực của Dirac có hàng loạt tính chất nổi bật. Chúng tuân theo định luật bảo toàn từ tích; còn chính từ tích cơ bản (hay nguyên tố) là 137/2 lần lớn hơn điện tích của electron. Lực tương tác giữa các từ tích lớn hơn giữa các electron tới 4692 lần trên cùng một khoảng cách. ''Lực hút nhau lớn đến vậy - theo Dirac - có lẽ giải thích vì sao các từ cực ngược dấu không bao giờ xa rời nhau!''
Không có một bằng chứng thực nghiệm nào nên giả thuyết đơn cực từ của Dirac suốt 40 năm đã được xem là rất đẹp đẽ, nhưng cũng rất kỳ lạ. Nhịp thở hồi sinh của nó đến vào năm 1974 khi nhà vật lý Xô viết Aleksandr Markovich Polyakov (sinh 1945) và nhà vật lý Hà Lan Gerardus't Hooft (sinh 1946) đồng thời tìm thấy các lời giải đơn cực trong sự tổng quát hóa phi tuyến lý thuyết Maxwell, tức là đối với các trường Yang - Mills (xem mục ''Các trường định cỡ'').
Khác với đơn cực Dirac, đơn cực của Hooft - Polyakov có kích thước hữu hạn, giá trị năng lượng xung lượng hữu hạn, v.v… Nhưng thú vị nhất là từ tích của các đơn cực Hooft - Polyakov có bản chất tôpô không tầm thường, và khối lượng của chúng 10.000 lần lớn hơn khối lượng của proton (tương đương với khối lượng một phân tử protein).
Đơn cực được tiên đoán trong các mô hình của thuyết Đại thống nhất còn lớn hơn nữa -1016 lần nặng hơn proton - tức là so sánh được với khối lượng một tế bào vi khuẩn. Dễ thấy rằng để sinh ra các ''con voi của thế giới vi mô'' to như thế thì không thể có đủ năng lượng: không phải chỉ các máy gia tốc hiện đại, mà cả các tia vũ trụ năng lượng cao nhất, cũng vẫn chưa đủ! Nhưng ở các giai đoạn đầu tiên trong lịch sử tiến hóa Vũ trụ, khi năng lượng quá dư thừa, các đơn cực hoàn toàn đã có thể được sinh thành và tồn tại đến ngày nay. Có lẽ vì thế nên người ta không thôi việc tìm kiếm đơn cực từ ở vùng không gian bao quanh Trái Đất và trong Vũ trụ gần chúng ta.
Vào năm 1984 một trong các nẻo đường tìm kiếm đơn cực được hé mở bởi nhà vật lý lý thuyết Nga Anatolyevich Rubakov (sinh năm 1955) và người Mỹ Curtis Kallan (hiệu ứng Kallan - Rubakov). Té ra là khi có mặt đơn cực từ proton sẽ lập tức bị phân rã thành positron và meson (xem mục phụ ''Chúng ta có bắt gặp được phân rã proton?''). Hơn nữa chính đơn cực thì vẫn còn nguyên vẹn, không bị hư hại (theo quy luật bảo toàn từ tích) và vẫn như trước, nó lại tiếp lục làm phân rã vật chất... Vì thế trong vật chất không khó gì nhận ra dấu vết của đơn cực theo chuỗi các ''tai biến proton''. Khi phân hủy proton một năng lượng khổng lồ được tỏa ra và nhờ thứ xúc tác proton – đơn cực có lẽ sẽ dễ dàng giải quyết bất kỳ khó khăn nào về mặt năng lượng: chuyến bay giữa các vì sao sẽ chỉ cần giản đơn thu gom các bụi vũ trụ, còn máy bay sẽ hoạt động nhờ phân rã proton của không khí. Chỉ còn cần tìm cho ra các đơn cực mà thôi!
