CÁC TRƯỜNG YANG - MILLS
Từ lý thuyết Weyl ta rút ra được một cách hợp lôgic các tính chất cơ bản của trường định cỡ:
1. Nó liên quan tới một định luật bảo toàn nào đó.
2. Các lượng tử của nó có khối lượng nghỉ bằng không.
Tính chất thứ nhất là hiển nhiên đối với động lực học, vì từ phép biến đổi (4) suy ra định luật bảo toàn điện tích. Tính chất thứ hai cũng hiển nhiên: Nếu khối lượng m của các lượng tử của trường vật lý khác không, trong các phương trình sẽ xuất hiện số hạng có dạng 
Nhưng số hạng như thế không bất biến đối với phép biến đổi (4) và do vậy bị cấm bởi đòi hỏi của tính bất biến định cỡ.
Chỉ sau gần một phần tư thế kỷ, hai nhà vật lý Mỹ là Yang và Mills (vào năm 1954) và độc lập với họ, một nhà vật lý Nhật là Utiyama (năm 1956), đã tạo ra một bước tiến mới trong sự phát triển của ý tưởng định cỡ của Weyl. Phép biến đổi Weyl (l) - là một phép biến đổi giao hoán (phép biến đổi Abel). Kết quả của việc áp dụng liên tiếp hai phép biến đổi Abel với các hàm 
khác nhau không phụ thuộc vào thứ tự thực hiện chúng (xem mục phụ ''Nhóm là gì'').
Yang, Mills và Utiyama đã mở rộng các ý tưởng của Weyl cho các phép biến đổi không giao hoán (không Abel). Người ta thấy rõ là các thành phần khác nhau của các trường định cỡ, ứng với các phép biến đổi không giao hoán có thể sinh ra lẫn nhau. Nghĩa là trường định cỡ không Abel là một trường phi tuyến ví dụ như trường hấp dẫn của Einstein. Bởi vậy chẳng có gì đáng ngạc nhiên là lý thuyết, được Utiyama phát triển, cho phép phát biểu lý thuyết tương đối rộng (tổng quát) của Einstein trên ngôn ngữ lý thuyết các trường định cỡ.
Mới đầu, lý thuyết các trường định cỡ không Abel, được gọi là các trường Yang - Mills, không được các nhà vật lý quan tâm tới một cách nghiêm túc, một phần là vì lượng tử của các trường định cỡ đều có khối lượng không.
Các tương tác mạnh có đặc tính tác dụng tầm ngắn (gần), còn ở tất cả các meson được phát hiện đến thời bấy giờ (các vật mang các tương tác hạt nhân) đều có khối lượng khác không nghĩa là các trường Yang-Mills không có quan hệ gì với lý thuyết các tương tác mạnh.
Tình hình đã thay đổi sau phát hiện vào năm 1961, cơ chế tạo ra khối lượng ở các lượng tử của các trường định cỡ (cơ chế Higgs) và Weinberg, Salam và Glashow, nhờ cơ chế ấy đã xây dựng nên lý thuyết thống nhất các tương tác điện yếu, được trình bày một cách triệt để vào các năm 1967 - 1968. Trong lý thuyết này các tương tác yếu và tương tác điện từ được xem như các thành phần khác nhau của một trường định cỡ duy nhất. Nhờ cơ Chế Higgs mà các lượng tử là các vật mang thành phần yếu của tương tác điện từ có được khối lượng. Đó là các hạt được gọi là các meson trung gian W và Z được tìm thấy bằng thực nghiệm vào năm 1983.
Sự phụ thuộc của các hằng số “chạy” của liên kết tương tác điện yếu (
)và tương tác mạnh (
) vào năng lượng thuyền. Khi ngoại suy tới các năng lượng lớn (mà đến nay chưa thể với tới) thì cả ba hằng số đều hội tụ về một điểm ở năng lượng 1015GeV và trở thành hằng số liên kết thống nhất 
.
Vào năm 1973, chỉ sau khi đưa ra được giả thiết confinement (sự cầm tù) thì trường gluon, gắn kết các quark với nhau, mới bắt đầu được mô tả như là một dạng thể của trường định cỡ không giao hoán Yang-Mills. Lý thuyết được xây dựng bằng cách đó có tên là sắc động lực học lượng tử. Lý thuyết tương tác điện yếu và sắc động lực học lượng tử dựa trên các nguyên lý bất biến định cỡ, làm thành mô hình chuẩn các quan niệm hiện đại về vật lý các hạt.
Năm 1974, đã hình thành lý thuyết đại thống nhất các tương tác, trong đó ba dạng của chúng (trừ tương tác hấp dẫn) được xem như các thành phần khác nhau của một trường định cỡ không giao hoán duy nhất. Trường này phải có một hằng số liên kết đối với tất cả các thành phần của mình. Tuy nhiên các hằng số liên kết của tương tác yếu tương tác điện từ và tương tác mạnh khác nhau đến mấy bậc. Làm sao có thể thống nhất được các tương tác này? ở đây không có mâu thuẫn sao?
Sự trùng nhau về giá trị của các hằng số liên kết của ba loại tương tác khi năng lượng đạt giá trị 1015GeV được dùng làm cơ sở cho giả thiết rằng, ở các năng lượng khổng lồ như thế phải tồn tại một tương tác duy nhất với nhóm đối xứng định cỡ chung. Khi nhiệt độ giảm xuống, từ tương tác duy nhất mới đầu tách ra các tương tác mạnh, tuy nhiên các tương tác điện từ và tương tác yếu vẫn còn được kết hợp thành tương tác điện yếu. Khi tiếp tục giảm năng lượng thì đến lượt mình, tương tác điện yếu và điện từ được tách riêng nhau.
Lý thuyết đại thống nhất với tất cả vẻ đẹp của mình vẫn có hàng loạt thiếu sót: nó tiên đoán quá nhiều hạt, còn chứa tới hàng trăm thông số cần điều chỉnh; trù định khả năng chuyển đổi các quark thành lepton, trong đó có phân rã của proton, và nghĩa là tích baryon không bảo toàn. Hơn nữa xác suất phân rã photon cực béo nhưng khác không (xem mục phụ ''Chúng ta có bắt gặp được phân rã proton'').
Còn một lý thuyết đồ sộ hơn, lý thuyết siêu thống nhất các tương tác, nó thâu tóm tất cả các lực hấp dẫn vào một tương tác duy nhất. Tuy nhiên, để hiểu được lý thuyết này ta phải làm quen với khái niệm siêu đối xứng.
Như vậy, quan niệm về tính bất biến định cỡ cục bộ đã trở thành một trong những nền tảng cho lý thuyết hiện đại các tương tác cơ bản. Ý tưởng đối xứng đã biến thành một công cụ mạnh mẽ để xây dựng lý thuyết vật lý. Bằng cách chỉ ra cách tiếp cận chung cho việc mô tả các tương tác khác nhau, cuối cùng nó đã đưa vật lý tới con đường thực hiện ước mơ của Einstein: xây dựng một lý thuyết trường thống nhất.
SIÊU ĐỐI XỨNG VÀ CÁC SIÊU DÂY
Một trong những phép đối xứng thần bí nhất là phép đối xứng hoán vị giữa các hạt đồng nhất với nhau trong cơ học lượng tử, nói cách khác đó là nguyên lý về tính đồng nhất của các hạt. Nó phân chia các hạt cơ bản thành các fermion và các boson. Loại hạt đầu có spin bán nguyên, còn loại hạt sau có spin nguyên. Trong lý thuyết trường nhờ các fermion mà mô tả được vật chất, còn các boson là các vật mang tương tác giữa những fermion, nghĩa là các lượng tử của các trường vật lý. Ta phải đối mặt với một tính bất đối, xứng quá rõ.
Đồng thời, vật lý lượng tử lại cho là có sự đối xứng hoàn toàn trong cách mô tả vật chất và trường. Từ đó suy ra rằng trong thiên nhiên phải tồn tại một sự đối xứng nào đó thiết lập sự bình đẳng về mặt vật lý giữa các fermion và các boson. Thật lạ lùng là tính siêu đối xứng này đã được phát hiện chỉ vào những năm 70 của thế kỷ XX trong các công trình của các nhà vật lý lý thuyết Nga Yu. A. Goldfand và E. P. Likhtman (năm 1971), D. V. Volkov và V. P. Akulov (năm 1972). Các nhà vật lý Mỹ Julius Vess và Bruno Zumio đã phát hiện ra tính chất thú vị của các mô hình siêu đối xứng của lý thuyết lượng tử trường: tính tái chuẩn hóa. Tuy nhiên các nhà vật lý lý thuyết quan tâm đến tính tái chuẩn hóa chỉ sau năm 1976, sau việc mở rộng siêu đối xứng của lý thuyết hấp dẫn, được gọi là siêu hấp dẫn. Sự quan tâm này đã dẫn tới sự ra đời của hàng loạt công trình. Có sự quan tâm thực sự đến siêu đối xứng cũng còn là do cách tiếp cận này cho ta một sự hy vọng có cơ sở để đưa ra một lý thuyết thống nhất tất cả các tương tác vật lý không loại trừ một tương tác nào.
Khía cạnh vật lý của siêu đối xứng là ở khả năng phân loại các hạt cơ bản theo các siêu nhóm bội bao gồm cả các fermion lẫn boson, chúng chuyển hóa lẫn nhau qua các phép biến đổi siêu đối xứng. Ví dụ, trong một siêu nhóm bội có graviton (spin 2) và hạt giả thiết gravitinô (spin 3/2). Người ta cho rằng khi có siêu đối xứng chính xác, các hạt nằm trong mỗi nhóm bội là bình đẳng và có các khối lượng giống nhau. Nhưng trên thực tế siêu đối xứng bị vi phạm, kết quả là khối lượng của các hạt trong cùng một siêu nhóm bội trở nên khác nhau. Khối lượng của gravitinô có thể lớn đến nỗi các khả năng thực nghiệm hiện nay chưa cho phép phát hiện được chúng.
Người ta thấy rõ là các tính vô cùng (hay như người ta nói, các tính phân kỳ) xuất hiện trong các phép tái chuẩn hóa có các dấu khác nhau đối với fermion và boson. Do đó, siêu đối xứng đưa tới việc các tính vô cùng khử lẫn nhau, nghĩa là, lý thuyết trường lượng tử thoát khỏi các phân kỳ bậc hai khó chịu nhất. Đây là một trong những đặc điểm hấp dẫn nhất của siêu đối xứng.
Lý thuyết siêu đối xứng tạm thời vẫn chưa được xác nhận trực tiếp bằng thực nghiệm. Song niềm tin tưởng vào nó đã lớn tới mức người ta đã bắt đầu cuộc tìm kiếm tích cực các hạt được nó tiên đoán (photinô, gravitinô v.v...) trên các máy gia tốc mới được xây dựng ở CERN.
1. Tương tác đưa đến sự kết dính (bện) hai dây kín;
2. Các giản đồ Feynman cho các dây.
3. Cấu hình dây có số khớp khác nhau có thể có các dạng kỳ quặc nhất.
Nhờ ý tưởng siêu đối xứng mà lý thuyết dây có một cuộc sống mới. Trong lý thuyết này, các hạt và các tương tác giữa chúng không được xem như các thực thể dạng điểm và không định xứ, mà được xem là các thực thể có quảng tính, mặc dầu mới chỉ là một chiều. Trước thế kỷ XX, việc tìm kiếm các hạt được tiến hành theo một hướng: hạt nào trong chúng có thể hiển nhiên xem như hạt điểm (như các lepton và quark trong mô hình chuẩn). Song cũng đã gần một thế kỷ nay, người ta xem xét cả các phương án thay thế khác. Ví dụ Joseph Thomson đã giải thích tương tác giữa các điện tích chuyển động theo cách các điện trường và từ trường của chúng trương ra thành một dây bện, ở ngoài dây này, các trường không tồn tại. Quả thật là, cả Thomson lẫn các học trò của ông đã không tìm được các lời giải thích hợp cho các phương trình Maxwell. Tuy nhiên, đã xuất hiện các ý đồ muốn từ bỏ cách mô tả điểm các đối tượng của thế giới vi mô. Trong số này, có mô hình nguyên tử ''xoắn'' được đưa ra rất sớm của Huân tước Kelvin, mà ngày nay được các chuyên gia lý thuyết dây rất quan tâm.
Vào cuối những năm 60, người ta bắt đầu phát triển các mô hình dây của các hạt tương tác mạnh. Meson trong các mô hình này là một sợi dây có một quark ở một đầu và một phản quark ở đầu kia. Ý tưởng sau đây của lý thuyết dây rất rõ ràng: giống như các dao động của dây đàn vĩ cầm có một bộ các hòa âm, các kích thích của hạt dây có một bộ các trạng thái điểm quan sát được. Mỗi hòa âm cao hơn hiện ra dưới dạng một hạt mới có khối lượng lớn hơn khối lượng của các hạt trước đó. Tất cả các hạt đã biết là các hòa âm thấp hơn của dây. Người ta cho rằng các hòa âm cao hơn đã được sinh ra chỉ ở các giai đoạn tiến hóa sớm của Vũ trụ, khi mà năng lượng còn dư dật ở các điều kiện bình thường chỉ tồn tại các trạng thái của dây với năng lượng thấp nhất. Các trạng thái này là các trạng thái điểm và được mô tả bởi các phương pháp của lý thuyết chuẩn.
Người ta quan sát đến cách nhìn khác hẳn với cách nhìn truyền tương đối với các hạt cơ bản bởi các khó khăn xuất hiện khi muốn có một cách mô tả chung cho tất cả bốn loại tương tác, muốn làm rõ thang bậc của chúng. Cấu tạo của Vũ trụ được quyết định bởi các lực khác nhau, tác dụng ở các khoảng cách khác nhau. Các quark kết hợp với nhau nhờ lực tương tác thành các proton và nơtron ở các khoảng cách 10-15m. Trong các hạt nhân nguyên tử, các proton và nơtron được giữ bằng các lực hạt nhân (còn dư). Các lực này, đến lượt mình, lại biến mất ở các quy mô nguyên tử (10-10m). Ở đây, các lực điện từ, liên kết các electron và hạt nhân thành các nguyên tử trung hòa, phát huy tác dụng.
Mặc dù tương tác điện từ là lực tác dụng tầm xa và rất lớn so với lực hấp dẫn, hiện giờ vẫn chưa hiểu được vì sao sự có mặt của các điện tích dương và điện tích âm lại đưa tới chỗ trong các vùng tích tụ vật chất lớn chúng lại khử lẫn nhau hoàn toàn. Còn tích hấp dẫn (khối lượng) lại không triệt tiêu nhau trong bất kỳ điều kiện nào, mà chỉ được tích cóp lại. Trong ý nghĩa này, hấp dẫn khác hẳn với ba loại tương tác kia, được hợp nhất lại trong khuôn khổ của mô hình chuẩn. Các hiệu ứng hấp dẫn tập thể có thể được nhận biết ở mức sơ cấp (mức lượng tử) chỉ trong vật chất bị kích thích đủ mạnh khi tăng tốc cho các hạt đến các năng lượng Planck.
Trong phương án ban đầu của mình, lý thuyết dây đã tự mâu thuẫn, vì rằng đã quả quyết tiên đoán có tồn tại các hạt tachyon không quan sát được (xem mục phụ ''Tachyon và các hạt kỳ dị khác''). Chỉ đến mùa hè năm 1984, John Schwarz ở Viện công nghệ California và Michael Green ở trường cao đẳng Nữ hoàng Mary ở London xây dựng được lý thuyết dây siêu đối xứng (hay như người ta thường gọi, lý thuyết siêu dây), thì phần lớn các khó khăn của lý thuyết cũ lập tức biến mất. ''Khi thử giải bài toán hấp dẫn lượng tử - Michael Green viết - chúng tôi đã đi tới các tiên đoán hầu như đơn trị về tính chất của các tương tác khác''.
Nhà vật lý trẻ người Nga Vadim Knizhnik (1962 - 1987), chỉ bằng cuộc sống ngắn ngủi của mình đã kịp có một đóng góp quan trọng cho sự phát triển của lý thuyết siêu dây, đã có lần nhận xét như sau: ''Việc thống nhất các tương tác sẽ đạt được bằng cách thống nhất các ý tưởng”.
