CÓ THỂ TIN TƯỞNG VÀO THIẾT BỊ LÁI TỰ ĐỘNG CHĂNG?
Nói chung thiết bị lái tự động làm việc gì vậy? Nhiệm vụ của thiết bị lái tự động là duy trì đường bay đã chọn, không cho máy bay bay chệnh khỏi nó. Một thiết bị cơ khí có thể giữ hướng như thế nào? Điều ấy càng lạ lùng khi ta biết rằng mọi hướng không gian đều tuyệt đối bình đẳng và vì vậy không thể có một hướng nào ưu tiên để tính góc quay.
Nếu ở nhà bạn có một cái ghế quay thì là đủ cho bạn tiến hành một thí nghiệm đơn giản. Bạn ngồi vào ghế (mà trong thí nghiệm này nó có một cái tên khoa học nghiêm chỉnh là ghế Zhukovsky) giang hai cánh tay cầm sẵn, hai vật, nặng (quả tạ thể thao chẳng hạn). Hãy dùng chân đẩy cho người và ghế quay. Đang quay bạn thử co hai khuỷu tay lại xem. Cái gì sẽ xảy ra? Tốc độ quay tăng vọt lên! Bạn giang hai tay ra: sự quay chậm lại ngay. Vì sao vậy nhỉ?
Chính là vì bạn đã làm thay đổi cự li của hai quả tạ đối với trục quay đấy! Cự li của quả tạ tới trục quay bị giảm đi khi bạn co tay lại, đã khiến cả cơ hệ, người, ghế và hai quả tạ, giảm mômen quán tính, và vận tốc quay phải tăng để bảo toàn động năng quay (thế năng gần như giữ nguyên).
Động tác santo (thu gọn người lại khi đang quay để tăng tốc độ quay) của người múa balê hay trượt băng nghệ thuật cũng đúng như vậy. Đại lượng bằng tích số của khoảng cách từ một điểm tới trục quay với khối lượng và với tốc độ chuyển động (tức là xung lượng của nó), L = r.p = r.m.v được gọi là mômen xung lượng của điểm khảo sát đối với trục quay đã cho. Một vật rắn là tập hợp của các điểm. Vận tốc của mọi điểm là bằng nhau chỉ khi nó chuyển động tịnh tiến. Đối với trường hợp chuyển động quay, môđun vận tốc của điểm tỷ lệ thuận với khoảng cách của điểm đó tới trục quay r:
v = 
với 
là vận tốc góc. Khác với vận tốc dài v, vận tốc góc bằng nhau ở mọi điểm của vật răn. Vì thế
ở đây l là mômen quán tính.
Trong thí nghiệm này mômen xung lượng được bảo toàn vì thế, khi co tay thu hai quả tạ vào ngực (làm giảm r và l) ta làm tăng . Mômen xung lượng có thể “duy trì định hướng” là vì nó có tính chất vectơ. Tay lái của cái xe đạp hai bánh dễ quay từ phía này sang phía kia nếu như bánh xe không quay (khi đó, bánh xe phải được nhấc lên hoặc treo cách mặt đất một chút để cho tay lái được quay dễ dàng). Nhưng khi ta lấy tay cho quay bánh xe, thì không thể dễ dàng xoay tay lái được nữa! Nếu ta không xoay tay lái, mà xoay khung xe thì một điều kỳ lạ xảy ra: tay lái sẽ tự động quay và định hướng theo hướng của bánh xe lúc nó bắt đầu quay. Mặt phẳng trong đó các bánh xe quay tít sẽ “chống lại”, mọi nỗ lực xô đẩy nó. Đó là vì mômen xung lượng của bánh xe quay bảo toàn không chỉ độ lớn môđun) mà cả hướng của nó. Hướng của mômen xung lượng là hướng nào? Trong trường hợp xe đạp thì đó là hướng của trục bánh xe hợp với chiều quay theo quy tắc vít thuận (hay quy tắc vặn nút chai). Tốc độ góc cũng là vectơ hướng dọc trục quay và cũng tạo với chiều quay theo cùng quy tắc vì thế hệ thức liên hệ mômen xung lượng và tốc độ góc là như sau:
Song đáng tiếc là sự đời không phải luôn luôn đơn giản như thế! Dùng tác động ngoại lực, chẳng hạn là từ trục nằm trong vòng bi, có thể đổi hướng quay của 
hoặc 
khiến chúng không còn trùng hướng với nhau nữa.
Trên hình vẽ dưới đây là một chiếc bánh xe quay quanh trục ''bị đảo''. Vecto mômen xung lượng của bánh xe đó biểu diễn trong không gian một hình nón (conus) mà liên hệ của nó với vecto vận tốc góc vẫn được mô tả bởi phương trình , song vì hướng của các vectơ và nói chung không trùng nhau, thì rõ ràng rằng mômen quán tính l liên kết chúng không phải là đại lượng vô lượng. Có thể nó là vecto với ba thành phần {lx, ly, lz) chăng?
Vẫn không đúng, vì khi đó theo định luật về tích vectơ, vectơ tích luôn vuông góc các vectơ thừa số, trong khi và có hướng tuỳ ý!
Mômen quán tính là một đại lượng tenxơ. Trong trường hợp chung nó gồm chín thành phần, được viết dưới dạng:
Khi quay xung quanh trục này hay trục nọ, các thành phần tương ứng của tenxo (được ngụ ý trong biểu thức 
) sẽ ''làm việc''. Khi cố ''đảo hướng'' vật quanh một trục khác thì phải lấy một thành phần khác.
Vì sao mômen quán tính lại là một đại lượng phức tạp đến thế? Người ta phải đưa các tenxo vào khi mà các đối tượng vật lý không đẳng hướng, tức là có tính dị hướng (anisotropy - gốc tiếng Hi Lạp, ''aniso'' là không bằng ''tropos'' là tính chất) - có nghĩa là có sự khác biệt tính chất theo những hướng khác nhau, định hướng bằng các trục toạ độ X, Y, Z. Tenxơ liên kết giữa hai đại lượng vectơ tỷ lệ nhau theo môđun nhưng có thể khác biệt về hướng, như giữa và . Trong trường hợp này dị hướng là do hình dạng của vật gây ra. Còn nếu vật rắn có đối xứng đối với trục nào đó trong số các trục X, Y, Z thì các thành phần tương ứng của tenxơ quán tính sẽ bằng nhau!
TÍNH TOÁN MÔMEN QUÁN TÍNH THẾ NÀO
Để đơn giản ta sẽ tính mômen quán tính l đối với một trục quay sao cho mọi điểm của vật có khoảng cách R như nhau tới nó, như đã làm với quả trụ rỗng vách mỏng. Khi đó chỉ cần nhân khối lượng M của vật với bình phương khoảng cách l = M.Rz2. Cũng không mấy phức tạp là tính mômen quán tính cả cho hệ thống các điểm khối mi tương ứng cự li li tới trục, như đã biết:
Dấu 
có nghĩa là lấy tổng theo tất cả các điểm, đánh số i. Ví dụ, mômen quán tính của chất điểm m, buộc ở đầu một dây mảnh không khối lượng có chiều dài l (là con lắc toán học), đối với điểm treo nó là bằng l = m.l2. Cái đai thùng, vành xe đạp hay hình trụ vách mỏng... cũng có mômen quán tính như thế đối với tâm hay trục của mình: thực vậy, có thể tưởng tượng mỗi điểm trên đai thùng, vành xe đạp, quả trụ... đều có cự li l đối với tâm, trục và khối tượng thì cộng tất cả sẽ thành khối lượng tổng của cái đai thùng, vành xe, vách trụ...
Khi cự li từ trục tới các điểm thay đổi liên tục (như trường hợp quả cầu đặc)… để tính mômen quán tính ta có thể làm phép phân chia (tưởng tượng) vật ra thành các điểm có khối lượng riêng biệt dm và lấy tổng tất cả các tích số khối lượng với bình phương khoảng cách tới trục. Thay vì lấy tổng giờ đây là lấy tích phân:
Ví dụ, ta tính mômen quán tính của của một thanh trụ đồng nhất, khối lượng m, độ dài l đối với trục đi qua đáy của nó (hình vẽ bên).
Ta chia thanh trụ thành các mẩu trụ con dày dr, cách trục quay cự li r. Khối lượng đơn vị độ dài là m.dr/l. Mômen quán tính của mẩu trụ con là m.dr.r2/l, trong đó cự li r biến thiên trong khoảng từ 0 đến l. Tổng cộng lại, ta có mômen quán tính của thanh trụ là:
Bây giờ ta tính mômen quán tính của thanh đối với một trục khác, đi qua chính giữa nó (vuông góc với nó). Ở cùng một khoảng cách r từ trục ta tìm thấy hai mẩu khối dm, nhưng bù lại, cự li từ các mẩu tới trục giờ đây lại chỉ biến thiên trong khoảng từ 0 đến l/2. Mômen quán tính sẽ bằng:
Giá trị ấy nhỏ bằng 1/4 của trường hợp trước. Điều này có ý nghĩa thực tiễn là ta dễ ''xoay xở'' cái gậy nếu cầm vào giữa thân nó, hơn là cầm vào đầu gậy!
Đối với hai trục vừa xét, các mômen quán tính chênh lệch nhau bao nhiêu?
Mà l/2 lại chính là cự li giữa hai trục. Có nghĩa là để tính được mômen quán tính l của vật đối với trục bất kì, ta chỉ cần tính mômen quán tính của vật đối với một trục nhất định nào đó song song với nó, cách nó một đoạn a:
l’ = l + Ma2
Đó chính là định lý Steiner. Trên hình vẽ chỉ ra mômen quán tính l của một số vật thể thường gặp: cái đai thùng (cũng như vành xe, hay quả trụ rỗng vách mỏng) cái đĩa (cũng như là của quả trụ đặc), quả cầu và cái gậy... đối với trục quay. Dùng định lý Steiner có thể tính mômen quán tính, đối với bất kỳ trục quay nào song song với trục đã cho.
SỰ TƯƠNG TỰ CỦA HAI CHUYỂN ĐỘNG
Thật thú vị khi nhận ra rằng mọi đại lượng vật lý mô tả chuyển động tịnh tiến đều có Một đại lượng tương tự về ý nghĩa vật lý dùng để mô tả chuyển động quay. Ví dụ như góc quay thì tương tự như toạ độ. Cho nên sự biến thiên của nó sau mỗi khoảng nhỏ thời gian thì tương tự về vật lý với tỷ số biến thiên toạ độ trong khoảng nhỏ thời gian là vận tốc. Và đại lượng tương tự với nó là vận tốc góc tức là tốc độ thay đổi góc quay. Việc đưa vào các đại lượng mô tả một hiện tượng vật lý mới có tính tương tự với các đại lượng khác mô tả một hiện tượng với một ý nghĩ vật lý tương tự cho phép hiểu và nhớ những đại lượng mới. Thêm một ví dụ nữa. Khi chuyển động tịnh tiến, các tính chất quán tính của vật được đặc trưng bởi khối lượng của vật. Khối lượng càng lớn thì cần đặt vào vật để nó đạt vận tốc nhất định sau thời gian nhất định sẽ càng lớn còn diễn đạt là: lực cần để truyền cho vật một gia tốc nhất định). Cũng thế, với vật quay có mômen quán tính càng lớn thì cần tác dụng mômen lực càng lớn để nó đạt với vận tốc nhất định sau một thời gian nhất định. Cho nên ta nói mômen quán tính là đại lượng vật lý tương tự với khối lượng. Thiết lập được các mối liên hệ như vậy ta sẽ dễ dàng viết ngay được biểu thức của đại lượng động năng của vật quay, chỉ cần thay thế các đại lượng tương tự vào công thức quen biết của động năng chuyển động tịnh tiến: Eđ = mv2/2, và ta thu được công thức tương tự: Eđ = l
/2. Bằng cách tương tự, ta có các kết quả khác, trình bày trong bảng dưới đây về các đại lượng chưa biết liên quan đến chuyển động quay.
ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔMEN XUNG LƯỢNG
Nói chung thì vectơ mômen xung lượng 
Kết quả là một vectơ vuông góc với cả hai vectơ thừa số, có hướng xác định theo quy tắc vít thuận (còn gọi là quy tắc vặn nút chai) và môđun thì bằng: 
, 
luôn luông vuông góc với mặt phẳng chứa 
có gốc ở một điểm trên trục quay và chứa m
.
Trong điều kiện nào thì mômen xung lượng được bảo toàn? Để trả lời phải khảo sát biến thiên của nó trong khoảng nhỏ thời gian (tìm đạo hàm) và sẽ thấy khi cho biến thiên đó bằng không, sự bảo toàn của mômen xung lượng có nghĩa là gì. Sử dụng quy tắc tìm đạo hàm của một tích ta sẽ thu được:
Số hạng đầu tiên trong vế phải là bằng không, vì nó là tích vectơ của hai vectơ song song và m (một tính chất của véctơ). Số hạng thứ hai là tích vectơ của bán kính vectơ đã dùng khi tính mômen quán tính, nhân với biến thiên xung lượng sau khoảng bé thời gian, tức là nhân với lực:
Đại lượng 
được gọi là mômen lực đối với điểm gốc vectơ r. Nếu nó bằng không thì đạo hàm mômen xung lượng 
cũng bằng không, và vì thế mômen xung lượng vẫn giữ nguyên không đổi. Vậy là mômen xung lượng đối với một điểm nào đó là bảo toàn nếu mômen ngoại lực đối với điểm đó là bằng không. Trong trường hợp riêng, nó được bảo toàn khi ngoại lực hoàn toàn vắng và hệ là một hệ kín.
Ta bắt gặp tình huống rất thú vị, khi vật ban đầu không quay (với mômen xung lượng bằng không), bị bắt phải quay mà không cần ngoại lực. Có thể thực hiện điều đó bằng cách bắt các phần khác nhau, riêng rẽ của vật quay theo hướng ngược nhau… Khi đó mỗi phần của vật có mômen xung lượng riêng nhưng mômen tổng cộng vẫn như trước, tức là bằng không.
CON MÈO “NHẢY DÙ”
Ai cũng biết rằng con mèo dù bị quăng ném theo cách nào đi nữa, nó vẫn ''tiếp đất bằng chân''. Thoạt nhìn điều này có vẻ rất đáng ngạc nhiên. Khi ném mèo, ta không hề cấp cho nó mômen xung Lượng (chuyển động quay) ban đầu nào, thì làm sao nó có thể quay mình để chân hướng xuống đất? Vì để làm được như thế, khi rơi, nó ắt phải quay, nghĩa là lấy ở đâu đó một tốc độ góc, mặc dù mômen xung lượng của nó luôn luôn phải bằng không. Con mèo đã khôn khéo lấy được tốc độ góc quay mà không có momen xung lượng ra sao?
Đó là sự khéo léo đáng kinh ngạc của loài mèo, giả sử rằng thoạt tiên con mèo duỗi các chân sau ra, co chân trước, vươn cổ về trước vặn mình để quay phần thân trước. Mômen tổng cộng vẫn bằng không. Nhưng khối nặng của các chân sau và đuôi mèo xa trục quay hơn, nên chỉ cần một cái vặn người, nửa thân sau quay một tốc độ góc rất nhỏ cũng đã tạo được tốc độ góc đủ lớn cho nửa thân trước của mèo (mômen quán tính của nửa thân trước và chân trước gần trục quay hơn nên nhỏ hơn). Hai hướng quay ngược chiều nhau khiến cho xung lượng triệt tiêu nhau và tổng mômen vẫn bằng không. Chỉ có điều nửa thân trước của mèo xoay nhiều hơn (và ngược hướng) nửa thân sau. Sau đó mèo phải làm một pha động tác nữa: duỗi chân trước, co chân sau và vặn mình theo chiều ngược lại. Các chân sau và thân sau chuyển động với vận tốc góc lớn hơn chân trước trước vì chúng ở cự ly gần trục quay hơn. Rồi con mèo co các chân trước và các chân sau gần như tư thế khi vừa bị ném, chỉ có điều toàn thân đã xoay được một góc đáng kể. Lặp đi lặp lại một vài lần các động tác trên một cách hết sức mau lẹ, con mèo đã định hướng về phía mặt đất, đúng thời điểm nó phải tiếp đất. Vậy là nó tiếp đất an toàn bằng chân!
(theo sách ''Tính tương đối và tư tưởng lành mạnh'' của G. Bondi)
CON LẮC VẬT LÝ
Con lắc là một vật rắn thực hiện các dao động quanh một vị trí cân bằng do một lực tác dụng lên nó. Nếu dao động con lắc là do trọng lực thì trục của nó không thể đi qua trọng tâm của nó. Nếu con lắc là một vật nặng treo dưới sợi dây đủ mạnh, khối lượng nhỏ hơn rất nhiều so với vật nặng và có thể bỏ qua, còn độ dài sợi dây đủ lớn so với kích thước vật nặng (tức là có thể coi nó là một chất điểm), thì nó là một con lắc toán học. Khi những điều kiện ấy không được thực hiện hoàn toàn, ta sẽ có con lắc vật lý. Chu kỳ dao động của con lắc toán học là
như mọi học sinh đều đã biết. Vậy tính toán chu kỳ dao động con lắc vật lý như thế nào, khi khối lượng dây treo không đủ nhỏ để có thể bỏ qua, chẳng hạn?
Ví dụ như con lắc là một thanh kim loại có bản lề ở đầu trên. Khi thanh lệch khỏi vị trí cân bằng một góc 
trọng lực mg sẽ kéo nó về điểm xuất phát. Có thể tính mômen trọng lực đối với điểm treo. Vì thanh kim loại là đồng nhất, nên trọng tâm - điểm đặt trọng lực - nằm ở giữa thanh và cánh tay đòn của lực ấy là l/2sin, và mômen
Dấu trừ biểu thị rằng hướng của trọng lực ngược với hướng tăng góc lệch (vì trọng lực kéo con lắc về vị trí cân bằng). Mômen lực gây biến đổi của mômen xung lượng 
Song 
, cho nên
Dấu phẩy kép ('') biểu thị đạo hàm bậc hai theo thời gian. Mômen quán tính của thanh đồng nhất đối với điểm đầu mút của nó là bằng 
; Đặt nó vào biểu thức mômen trọng lực sẽ có:
hoặc sau khi rút gọn:
Với các góc lệch bé, 
(tính theo rađian). Ta đi tới phương trình chuyển động của dao động điều hoà:
Trong đó hệ số của chính là bình phương của tần số dao động, cho phép suy ra chu kỳ dao động bằng
Cũng có thể dễ dàng suy được công thức quen biết về chu kỳ của con lắc toán học.
Vì tất cả khối lượng tập trung tại chất điểm trên sợi dây không trọng lượng ở cự li với điểm treo, mômen quán tính con lắc toán học là l= ml2, còn mômen trọng lực đối với điểm treo là M = - mgsin. Nếu đặt các biểu thức đó vào phương trình
Ta thu được
Nếu lại thay 
(coi biên độ dao động là rất bé) ta lại có phương trình dao động điều hòa
Chu kỳ sẽ là:
Các biểu thức cho các chu kỳ sẽ là bằng nhau nếu độ dài thanh là 3/2 lần độ dài của con lắc toán học (có sợi dây không trọng lượng). Đó là trường hợp riêng của con lắc vật lý khi thanh con lắc đồng nhất. Trong trường hợp chung, con lắc có thể có dạng bất kì. Giả sử trọng tâm của tấm C ở cách điểm treo cự li s thì chu kì dao động (với điều kiện góc đủ bé)
Với I là mômen quán tính đối với điểm treo, s là cự li từ điểm treo tới trọng tâm. So sánh công thức trên với chu kỳ dao động của con lắc toán học dễ nhận thấy là con lắc vật lý sẽ có cùng chu kỳ dao động với con lắc toán học có độ dài
Nó có tên là độ dài quy đổi của con lắc.
