NHỮNG ĐIỀU PHIỀN PHỨC VỚI TÍNH CHẴN LẺ
Từ thuở nhỏ, một người học được khái niệm bên phải và bên trái qua sự bất đối xứng của thân thể mình. Cánh tay nằm gần tim là tay trái, cánh tay kia là tay phải. Điều đó thật đơn giản. Nhưng mà ''bên trái'' và ''bên phải'' là gì? Cũng dường như là rõ ràng: bên trái là những gì ở đằng bên tay trái, bên phải là những gì ở đằng bên tay phải. Còn nếu hai người đứng quay mặt vào nhau, khi đó đâu là “bên trái” đâu là ''bên phải'' trên thực tế. Không ở đâu cả. Mỗi người đều có “bên phải” và “bên trái” của riêng mình, còn thế giới quanh ta thì không.
Về phương diện lịch sử người ta đã quen dùng hệ tọa độ Descartes theo chiều thuận phải, cũng như quen viết từ trái sang phải tuy rằng chẳng có gì tồi hơn nếu dùng hệ tọa độ ngược và viết từ phải sang trái (như Leonardo de Vinci vẫn làm). Sẽ rất lạ, nếu như một bản văn đã được viết từ phải sang trái lại có một ý nghĩa khác, còn quá trình vật lý, được xem xét trong hệ tọa độ trái, lại khác với quá trình được quan sát trong hệ tọa độ phải!
Nói một cách khoa học không gian đối xứng với phép biến đổi nghịch đảo (thay đổi dấu của tất cả các tọa độ). Từ đó suy ra định luật bảo toàn (tính) chẵn lẻ, vốn đã được kiểm tra hồi giữa thế kỷ XX, khi nghiên cứu nhiều hiện tượng cơ học và điện từ. Định luật nói rằng, trong các hệ kín, vẫn giữ nguyên không đổi chẳng những năng lượng, xung lượng v.v... mà cả tính chẵn lẻ của các hàm số mô tả hệ (hàm được gọi là chẵn nếu nó giữ nguyên dấu khi đối số của nó thay đổi dấu). Nói một cách nôm na, phép nghịch đảo là phép phản chiếu qua gương.
Nhưng vào đầu những năm 50, các nhà vật lý lý thuyết Mỹ, những người được giải thưởng Nobel tương lai, Lee và Yang đã hoài nghi việc trong các tương tác yếu tính chẵn lẻ được bảo toàn. Các thí nghiệm được tiến hành chẳng bao lâu sau đó ở Mỹ bởi một nhóm các nhà nghiên cứu đứng đầu là bà Wu Chien - Shiung (Ngô Kiện Hùng 1912 - 1997) đã hoàn toàn xác nhận giả thiết của Lee và Yang.
Họ đã nghiên cứu phân rã 
của các hạt nhân đồng vị coban 60Co, biến thành hạt nhân đồng vị niken 60Ni, các electron e- và notrinô electron ve: 
Các hạt nhân 60Co dùng cho quan sát sự vi phạm tính chẵn lẻ được đặt trong từ trường ngoài: ở các hạt nhân này, spin có giá trị khá lớn (S = 5), và chúng biểu hiện như những nam châm nhỏ, được xếp thành hàng theo phương của từ trường. Để sự định hướng không bị phá hủy bởi chuyển động nhiệt của các nguyên tử, mẫu coban đã được làm lạnh sâu.
Wu đã phát hiện thấy rằng số electron bay ra theo phương của spin S ít hơn số electron bay ra theo phương ngược lại. Qua phép phản xạ tưởng tượng diễn ra trong gương, nghĩa là khi nghịch đảo các tọa độ, vectơ spin thay đổi phương của mình, còn vectơ vận tốc thì không. Ta có một bức tranh lạ: bây giờ số electron bay ra theo phương spin S sẽ nhiều hơn! Quá trình ''đằng sau gương'' không trùng với quá trình quan sát được ''ở trước gương''. Điều đó đã xác nhận giả thiết của Lee và Yang về sự không bảo toàn tính chẵn lẻ trong các tương tác yếu.
Ngay sau khi khám phá ra sự không bảo toàn tính chẵn lẻ, các nhà vật lý quả là thấy nản lòng. Vậy là vấn đề lựa chọn cái gì được gọi là bên phải, còn cái gì là bên trái đã không thể giải quyết được nhờ các định luật vật lý. Điều đó tưởng như đã là bất di bất dịch và hiển nhiên. Bạn hãy tưởng tượng mà xem: một người đứng trước gương giơ tay lên, thế mà ảnh trong gương của anh ta lại là giậm chân xuống!
NHÓM LÀ GÌ?
Các ý tưởng và phương pháp của lý thuyết nhóm đã trở nên quen thuộc trong vật lý, còn vật lý các hạt cơ bản đơn giản là không thể diễn đạt được nếu không nhờ tới bộ môn toán trừu tượng này. Sự ra đời của lý thuyết nhóm gắn liền với tên tuổi của nhà toán học Pháp Evariste Galois (1811 - 1832), đã qua đời ở tuổi 20 trong một vụ đấu kiếm. Ngay trước hôm đấu kiếm, ông vội vàng ghi chép các ý tưởng mà sau này in trong “Luận về các điều kiện giải được của các phương trình trong căn'' (công bố năm 1846): ông đã đưa vào một khái niệm toán mới là các nhóm. Lý thuyết nhóm trong toán học phát triển mạnh mẽ vào thế kỷ XIX - đầu thế kỷ XX. Các nhà toán học Niels Henrik Abel, Hermann Weyl, Elie Cartan, Sophus Lie... đã có những đóng góp xuất sắc.
Hàng ngàn năm con người đa nghiên cứu các số nguyên và các phép toán trên số nguyên. Plato và Pythagoras thậm chí còn cho rằng, chính các số là cái nguyên thuỷ, chứ không phải thế giới xung quanh, là cái mà con người phải mô tả nhờ các con số. Về sau, người ta khám phá ra các phân số hữu tỷ, các số đại số và các số vô tỷ. Để mọi phương trình đại số bất kỳ đều có nghiệm, người ta đã phải dùng tới số phức, là các điểm số lấp đầy mặt phẳng số, có hai chiều trục thực. Nhờ sử dụng các cặp số, sau đó là các bộ ba con số, Descartes đã sáng tạo ra hình học giải tích mà về sau được khái quát hóa thành lý thuyết các không gian n - chiều và vô hạn chiều.
Nhưng lý thuyết nhóm do Evariste Galois khởi thảo lại thực hiện một bước tiến hoàn toàn theo một hướng khác. Lý thuyết nhóm cho phép giải quyết các bài toán với ''x'' (ví dụ, a.x = b), không chỉ đối với các con số, mà đối với bất kỳ cái gì đó, chỉ cần ''cái bất kỳ'' đó là phần tử của một nhóm nào đó. Thì ra là rất nhiều đối tượng (các đồ vật, các phép quay, các hàm số v.v...) là một thứ tương tự nào đó với các số và có một phần các tính chất vốn đã được nghiên cứu kỹ và rất có ích của các con số. Chính các nhóm gắn kết vào mình các loại đối tượng được nghiên cứu khi giải các bài toán chứa các “x” hay các ''ẩn số''.
Người ta gọi tập hợp các đối tượng g (hữu hạn hay vô hạn), mà tất cả các thành viên của nó đều thỏa mãn bốn tiên đề sau đây là nhóm G:
1. Có phép toán kết hợp (ghép) hai đối tượng, khi đối tượng thứ ba cũng thuộc tập hợp này tương ứng đơn trị với chúng: đối với mọi 
, phần tử g3 = g1 .g2 
(tiên đề về tính đóng); phép toán kết hợp thường được gọi là phép nhân (ngay cả khi các phần tử được cộng với nhau), còn kết quả thu được gọi là tích.
2. Phép nhân phải có tính kết hợp, nghĩa là
g3.(g2.g1)=(g3.g2).g1
3. Trong số các phần tử của tập hợp có phần tử đơn vị duy nhất 
là đơn vị của nhóm, sao cho e.g = g đối với tất cả các 
4. Mỗi phần tử của nhóm có tương ứng đơn trị là một phần tử nghịch đảo duy nhất g-1, sao cho g-1.g = e.
Thỏa mãn bốn tiên đề này, đương nhiên, không chỉ đảm bảo cho việc biến đổi phương trình a.x = b thành đẳng thức x = a-1.b, mà còn ban tặng cho các phần tử của nhóm nhiều tính chất khác của các số. Lưu ý rằng, các tiên đề của nhóm không đòi hỏi bắt buộc phải thỏa mãn đẳng thức g1g2 = g2g1. Nếu đẳng thức này được thực hiện, thì nhóm được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel (theo tên nhà toán học Na Uy N. H.Abel).
Dưới đây chúng ta tìm hiểu vài ví dụ về nhóm:
1. Nhóm các số nguyên Z (dương và âm). Phép toán kết hợp là phép cộng thông thường, số đơn vị của nhóm là số 0; phần tử nghịch đảo là số lấy với dấu ngược lại.
Lưu ý rằng, tập hợp các số nguyên không lập thành nhóm, nếu để làm phép toán kết hợp ta dùng phép nhân (trong số các số nguyên sẽ không có các phần tử nghịch đảo).
2. Nhóm T (
) các phép tịnh tiến (dịch chuyển) dọc theo một đường thẳng một đoạn a tùy ý. Đó là ví dụ về nhóm các phép biến đổi (các toán tử). Phép tịnh tiến là phép toán 
Ta hãy kiểm tra việc thỏa mãn các tiên đề nhóm:
2.1. Tất cả bốn tiên đề đều được thỏa mãn.
3. Nhóm SO(3) của các phép quay xung quanh các trục tùy ý, đi qua gốc tọa độ trong không gian ba chiều. Dễ dàng nhận thấy rằng, nhóm này là nhóm không Abel, vì rằng, phép quay xung quạnh trục x trước, rồi sau đó mới quay quanh trục y đưa đến một kết quả khác so với phép quay quanh trục y, rồi sau đó, quanh trục x.
Trong ngôn ngữ toán học, đối xứng có nghĩa là tính không thay đổi của định luật hay hiện tượng đối với các phép biến đổi. Áp dụng cho vật lý các hạt, việc biết nhóm đối xứng đối với một tương tác nhất định cho phép ta phân loại các hạt có các tính chất gần giống nhau thành các họ và thiết lập dạng năng lượng tương tác thỏa mãn đòi hỏi tính bất biến đối với nhóm đối xứng đã cho. Đòi hỏi khá nghiêm ngặt này cho phép chọn lựa chỉ một số không lớn các lý thuyết trong rất nhiều phương án khả dĩ.
Nhóm đối xứng quan trọng nhất trong vật lý là nhóm Lorentz, nghĩa là tập hợp các phép biến đổi chuyển từ một hệ quy chiếu quán tính này sang một hệ quy chiếu quán tính khác trong không - thời gian Minkowski.
