TẠI SAO Ở CÁC CÂY CẦU LỚN VÀ ĐƯỜNG HẦM CHỈ CẦN
XÂY DỰNG TRẠM THU PHÍ Ở MỘT BÊN?
Sông Hoàng Phố chảy qua thành phố Thượng Hải và chia Thượng Hải thành 2 phần là Phố Đông và Phố Tây. Đầu những năm 90, từ ngày Trung Ương Đảng quyết định mở mang phố Đông thì phố Đông đã ngày càng đổi khác, một khu phố hiện đại hoá mới đã phát triển rất mạnh mẽ.
Để giải quyết vấn đề giao thông ngày càng đông đúc giữa phố Đông và phố Tây, người ta đã cho xây đựng một đường hầm bắc trên sông Hoàng Phố và một số cầu lớn bắc qua 2 bờ như cầu Nam Phố, cầu Dương Phố,v.v… Trước ngày 1/5/2000, ô tô qua sông phải thu phí. Nhưng người sống ở Thượng Hải đều có một kinh nghiệm như sau: ô tô đi từ phố Tây đến phố Đông cho dù là đi qua cầu hay đường hầm đều không bị cản trở gì cả; nhưng nếu đi từ phố Đông đến phố Tây thì nhất định phải qua trạm thu phí, sau khi nộp phí qua cầu mới được thông hành.
Xây dựng đường hầm và cầu lớn tốn một khoảng tiền rất lớn, thu phí là để bổ sung số tiền đó, mọi người đều cảm thấy như vậy là hợp lý. Nhưng tại sao chỉ xây trạm thu phí ở phố Đông mà lại không xây đồng thời trạm thu phí ở phố Tây để cả đi và về đều phải thu phí? Lí do thực ra rất đơn giản, đối với các loại xe (trừ một số ít xe sau khi đã quá cảnh không quay lại nữa) thì khi qua sông thường đều quay trở lại (tất nhiên có thể thông qua từ một đường và trở về từ một đường khác hoặc hôm nay qua sông, mấy ngày sau mới quay lại). Cho dù chỉ xây trạm thu phí ở một bên sông để thu phí qua lại hay là xây trạm phu phí ở cả 2 bên sông để thu phí cả đi cả về thì đối với các loại xe, phí dụng họ phải nộp đều như nhau. Đối với ngành thu phí thì tổng giá trị thu phí cũng như nhau. Hay chính là chỉ cần xây trạm thu phí ở một bên sông hay ở cả 2 bên sông thì hiệu quả thu phí đạt được là như nhau. Nhưng nếu chỉ xây trạm thu phí ở một bên thì việc xây dựng trạm và các khoản chi cho vận chuyển hàng ngày sẽ tiết kiệm được một nửa.
Lý do trên mà mọi người đã hiểu trên thực tế chính là một ví dụ của ''nguyên tắc đối ngẫu'' trong toán học. Cái gọi là ''nguyên tắc đối ngẫu'' chính là nếu giữa các phần tử của hai tập hợp hữu hạn (ví dụ như tập hợp xe từ phố Tây đến phố Đông và tập hợp xe từ phố Đông về phố Tây) có thể thiết lập một quan hệ đối xứng nào đó thì chứng tỏ các phần tử của 2 tập hợp này là giống nhau.
Nguyên tắc đối ngẫu tuy rất đơn giản nhưng lại là một căn cứ suy lý rất quan trọng, mở rộng nó tới tập hợp vô hạn ta sẽ xây dựng được lý luận về ''cơ số của tập hợp''.
Dùng nguyên tắc đối ngẫu còn có thể giải quyết một số câu hỏi toán học khó nổi tiếng trong lịch sử, ví dụ như ''câu hỏi du lịch đường quốc lộ hình vòng tròn''.
Câu hỏi như sau: trên đường quốc lộ hình vòng tròn có n bến xe, độ cao so với mặt nước biển lần lượt là 100m và 200m, mặt khác nếu độ cao so với mặt nước biển của 2 bến xe gần nhau là như nhau thì đoạn đường nối giữa chúng hoàn toàn bằng phẳng. Có người lái xe xuất phát từ một bến nào đó và quay một vòng trên quốc lộ hình tròn và phát hiện thấy số đoạn đường có độ nghiêng và số đoạn đường hoàn toàn bằng phẳng là như nhau, thế là anh ta đoán rằng n số bến xe là ước số chung của 4.
Lý do rất đơn giản: trong điều kiện giả thiết, mỗi đoạn đường có độ nghiêng hoặc cách mặt nước biển từ 100 - 200m hoặc giảm từ 200 còn 100m so với mặt nước biển thì khi đi một vòng trên đường quốc lộ hình tròn có thể thiết lập một cặp đối xứng giữa đoạn đường đi tăng lên hoặc giảm xuống, nếu không sẽ không quay lại được độ cao ban đầu. Vì vậy nếu đoạn đường tăng lên là m (đoạn) thì đoạn đường giảm xuống cũng là m (đoạn) từ đó số đoạn đường có độ, nghiêng k = 2m chính là số chẵn; bây giờ ta đã biết số đoạn đường hoàn toàn bằng phẳng cũng là k, cho nên tổng số đoạn đường là 2k = 4m. Rõ ràng tổng số đoạn đường chính là số bến xe, cho nên số bến xe n =4m chính là ước số chung của 4.
