GỠ 9 VÒNG LIÊN HOÀN NHƯ THẾ NÀO?
Chín vòng liên hoàn là một trò chơi dân gian xưa của Trung Quốc, nó từng rất được thịnh hành ở triều Minh và Thanh, và cũng là một trong những trò chơi bí mật nhất được thế giới công nhận, ở nước người nó được gọi là ''chiếc vòng của người Trung Quốc''. Trong lịch sử nó không được khả chứng nhưng đến thế kỷ XVI, đa số nhà toán học vĩ đại đã từng nhắc đến 9 vòng liên hoàn. Nhà toán học Harris cũng đã phân tích tỷ mỹ về nó.
Chín vòng liên hoàn như sau: có 9 vòng tròn, trên mỗi vòng tròn đều gắn một que thẳng, mỗi que thẳng này đều được xuyên qua từ trong vòng tròn phía sau, rồi lại xuyên qua 9 lỗ nhỏ của một tấm cong. Đầu dưới của mỗi que thẳng đều có mối thắt, vì vậy mà chỉ có thể di chuyển lên xuống trong các lỗ nhỏ chứ không thể rút ra từ miếng tấm cong. Ngoài ra còn có một cái trâm có 2 phần. Mục đích của trò chơi này là xuyên từng lỗ của 9 vòng tròn vào chiếc trâm hoặc tháo cả 9 vòng tròn trên chiếc trâm này ra, phải qua vài trăm thủ tục và tuân theo những quy luật nhất định, tức là phải có cách tính toán.
Dưới đây xin giời thiệu sơ qua về các động tác cơ bản. Trước tiên xiên vòng thức nhất qua lỗ trâm từ dưới lên trên rồi gắn ở đầu trâm. Do các vòng khác có các cúc vòng tròn khác nên không thể áp dụng phương pháp này. Nhưng nếu phía trước có một vòng gần sát đã gắn vào trâm mà tất cả các vòng phía trước khác đều chưa gắn vào trâm thì chỉ cần dịch chuyển tạm thời vòng này vào phía trước đầu trâm để nó thoát ra khỏi đầu trâm, như vậy vòng sau có thể gắn vào, rồi lại phục hồi vị trí của vòng trước khi tháo vòng chỉ cần làm ngược lại động tác bên trên là được.
Bây giờ có thể thấy rằng, nếu chỉ cần gắn vòng thứ nhất chỉ mất một bước. Nếu gắn vòng thứ 1 và 2 thì trước tiên có thể gắn vòng thứ 1, rồi gắn vòng thứ 2, tất cả mất 2 bước. Khi muốn gắn vòng thứ 3, sau khi đã gắn xông vòng 1, 2 cần phải tháo vòng 1 ra rồi gắn vòng thứ 3, cuối cùng lại gắn vòng thứ 1, tổng cộng là 5 bước. Khi số vòng nhiều lên, các thủ tục sẽ càng phức tạp hơn. Người xưa có một câu nói như sau: ''1 2 1 3 1 2 1, hai vòng đầu trâm hạ xuống vòng thứ 2, vòng duy nhất là vòng sau trên chiếc trâm:''5 bước cuối cùng của vòng tên trên này là 1 2 1 3 1, cho nên 5 bước đầu tiên để tháo vòng là 1 3 1 2 1.
Nói cách khác, các bước dịch chuyển là, cứ 8 bước có thể coi là đơn nguyên, trong đó 7 bước trước chắc chắn phải là ''1 2 1 3 1 2 1''. Cuối cùng phải ''lên'' hay ''xuống'' là đưa vào xu hướng tự nhiên. Tức là vòng vờn không phải ở trên trâm thì “lên”, còn vòng vốn đã ở trên trâm thì ''xuống''. Đến bước thứ 8 thì phải xem tình hình đầu trâm lúc đó: khi vòng tròn gắn với nhau thì nhất định phải tháo vòng sau ra; khi ở đầu trâm chỉ có 1 vòng duy nhất thì nhất định phải gắn vòng tiếp theo. Bên trên chính là ý nghĩa của câu nói. Toàn bộ bí mật của ''toán pháp'' đều ở đây. Dựa vào 3 câu nói để tháo hoặc lắp 9 vòng tròn, tuy có hơn 341 bước nhưng cũng chẳng tốn bao nhiêu công sức.
Năm 1975 trong một cuốn sách chuyên nói về dãy số do nước ngoài xuất bản đã ghi chép lại một dãy số như sau:
l, 2, 5, 10, 21, 42, 85, 170, 341...
Dãy số này vừa không là dãy số cấp số cộng, vừa không phải là dãy số cấp số nhân, nó dường như chẳng có quy luật nào cả. Vậy nó là dãy số gì? Hoá ra đây là một dãy số ''9 vòng liên hoàn'', số thứ n của nó chính là số bước cần để tháo n vòng.
Vậy thì các số trong dãy số này có quy luật gì không? Có chứ: Nếu chúng ta đặt Un đại diện cho số thứ n của dãy số trên, ta sẽ được công thức dưới đây. Khi n là một số chẵn: un=2un-l
Khi n là số lẻ: un=2un-l+1
Từ công thức trên, chúng ta có thể tìm ra u2 từ ul rồi suy ra u3...phương pháp này gọi là “Đệ quy”.
Còn có một công thức tính toán trực tiếp hơn, tức là:
Un = 
