PHẢN BIỆN ROSOW VÀ CÂU CHUYỆN
LỜI PHẢN BIỆN NGƯỜI THỢ CẮT TÓC?
Trong sách toán phổ thông, lý thuyết về tập hợp đã trở thành một công cụ quan trọng giúp ta miêu tả kết luận toán học hay chứng minh các định lý trong toán học. Vì thế mà rất nhiều bạn học sinh đã nắm vững, tận dụng chúng trong việc giải các bài toán phổ thông. Nhưng bạn có biết rằng lý thuyết tập hợp đã từng phải đối mặt với một cuộc khủng hoảng ghê gớm, đến mức làm lay chuyển cả nền tảng cơ sở toán học.
Những năm 70 của thế kỷ XIX, sau sự kiện các nhà toán học Đức tìm ra cơ sở của lý thuyết tập hợp, giới toán học cho rằng, toán học đã phát triển tới mức cực thịnh. Năm 1900, tại hội nghị quốc tế về toán học, người đứng đầu giới toán học vui mừng tuyên bố rằng: Chúng ta đã vươn tới đỉnh cao tuyệt đối chính xác của toán học.
Vậy mà, chỉ 1 năm sau, nhà toán học, triết học người Anh Rosow đã phát hiện ra một mâu thuẫn rất lớn lý thuyết tập hợp.
Lý thuyết tập hợp được chia làm 2 loại. Loại thứ nhất có đặc trưng là: bản thân tập hợp này là tập hợp của các số nguyên. Loại tập hợp này thường được mọi người lúc đó gọi thành: ''tập hợp do các tập hợp khác tạo nên''. Đặc trưng của loại tập hợp thứ hai là: bản thân loại tập hợp này không phải do các số nguyên cấu tạo nên. Ví dụ tập hợp các điểm trên một đường thẳng.
Từ đó có thể thấy 1 tập hợp chỉ có thể là tập hợp 1 hoặc tập hợp 2. Nhưng nếu như R là tập hợp do tập hợp loại 2 cấu thành vậy R sẽ thuộc loại tập hợp nào?
Giả thiết R thuộc loại tập hợp 1. Như vậy R bao gồm các số nguyên. Nhưng do định nghĩa tập hợp R thì R chỉ do tập hợp 2 tạo nên vì vậy R thuộc về tập hợp loại 2. Cũng lại xuất phát từ định nghĩa, R phải là số nguyên của R. Từ đó R lại thuộc loại tập hợp 1. Lý luận trên quá rắc rối và Rosow'' nổi tiếng.
Có lẽ lý luận phản bác trên đây của Rosow khó hiểu đối với mọi người, vì vậy, người ta mới lấy một ví dụ khác thực tế hơn để so sánh với luận thuyết nói trên của Rosow. Ví dụ này có tên là ''Lời phản bác của người thợ cắt tóc''. Chuyện kể rằng ở một làng kia có người thợ cắt tóc chỉ ''cạo mặt cho những người bản thân không cạo mặt'' nói như vậy, người thợ cắt tóc tự đặt mình vào tình huống khó xử vì anh ta có thể cạo mặt cho mình không? nếu cạo thì sẽ vi phạm: chỉ cạo cho những người bản thân không cạo mặt. Nếu như không cạo anh ta lại phạm vào nguyên tắc cạo cho những người bản thân không cạo mặt. (Vì anh ta làm nghề cạo mặt).
Phát hiện của Rosow làm lung lay thành trì của lý thuyết tập hợp, toán học cũng đứng trước cuộc khủng hoảng thứ 3.
Các nhà toán học lúc đó nhằm giải quyết mâu thuẫn và gây dựng lại cơ sở cho toán học đã nỗ lực không mệt mỏi đưa các công thức của lý thuyết tập hợp trở thành các tiên đề không cần chứng minh. Năm 1908, Semeluo đưa ra một phương án ''tiên đề'' lý thuyết tập hợp với tôn chỉ “Định nghĩa tập hợp nhất định cần phải được hạn chế”, vừa ''Bảo đảm loại bỏ tất cả mâu thuẫn'', lại là ''Tất cả nội dung giá trị trong thuyết tập hợp của Kantur được giữ lại''. Trong hệ thống tiên đề Semelluo, không cho phép có cách nói ''Tất cả tập hợp tạo thành tập hợp''. Phương án tiên đề hóa của Semeiluo sau khi được Frunker và Skelan cải tiến, bổ sung đã trở thành hệ thống tiên đề ZF chiếm vị trí quan trọng trong lý thuyết tập hợp. Ngoài hệ thống ZF còn có các hệ thống tiên đề khác.
''Phản biệt Rosow'' và cuộc khủng hoảng toán học không những không nhổ bật được gốc rễ của cây đại thụ toán học trong khu rừng khoa học mà còn giúp cây đại thụ này phát triển và cho ra những chồi non mới. Lý thuyết về tập hợp đã được phát triển và hoàn thiện cơ sở toán học càng được củng cố vững chắc hơn.
