ĐỊNH LÝ FECMA LÀ GÌ?
Chúng ta biết, phương trình x2 + y2 = z2 có vô số cách giải số chẵn. Ví dụ, biết ''cấu tam, cổ tứ, huyền ngũ'' của Trung Quốc cổ đại chính là đưa ra một cách giải phương trình với x=3, y=4, z=5. Trong cuốn ''Nhóm số cấu cổ là gì'', trên thực tế chúng ta đưa ra yêu cầu phương pháp giải tròn số thông thương phương trình này.
Chúng ta mở rộng vấn đề ra, hỏi: phương trình xn+yn=zn khi n>2 có cách giải tròn số không? nói “không lẻ” ở đây, chỉ ra bất cứ một số x, y, z nào đều không thể là lẻ, nếu không thì chúng ta luôn có thể tìm được cách giải tròn số, ví dụ: x=0, y=2 có thể là bất cứ số chẵn nào.
Nhà toán học người Pháp thế kỷ 17 Fecma nghiên cứu qua vấn đề này. Fecma là một luật sư, cũng là một người yêu thích toán học. Tuy ông không được huấn luyện đào tạo toán học chính quy, nhưng ông có hứng thú rất lớn đối với toán học và trình độ phi phàm. Fecma có thói quen khi đọc sách thường viết ghi chú ra khoảng trống bên lề cuốn sách. Sau khi qua đời 5 năm, con trai của ông khi thu xếp bài viết và thư tín của cha đã phát hiện ghi chú Fecma viết trên lề trang của cuốn thứ 2 tác phẩm “số học” bị vất ra bên ngoài: ''không thể lấy một số lập phương viết thành 2 số lập phương, hoặc 4 lần số mũ viết thành 2 số mũ 4. Thông thường, với bất cứ một số nào, với số mũ 2 không thể viết thành 2 số khác cùng mũ. Đối với mệnh đề này chúng ta nhận được một chứng minh kỳ diệu thực sự thấy đáng tiếc chỗ trống quá nhỏ không có cách nào viết được. Cũng chính là nói, Fecma nói phương trình xn + yn = zn khi n>2 không có cách giải tròn số không lẻ. Các nhà toán học khi đó tin tưởng Fecma thực sự có thể chứng minh kết luận này, liền gọi lời của ông ta nói là định lý Fecma.
Các nhà toán học suy cho cùng cũng không hoàn toàn tin tưởng ghi chú của Fecma, họ bắt đầu nỗ lực tam kiêm, thử phát hiện lại “chứng minh kỳ diệu thực sự” của Fecma. Vậy mà hơn 300 năm vấn đề giản đơn như thế làm bối rối rất nhiều nhà toán học kiệt suất. Trong đó bao gồm những người nổi tiếng như Ơle, Diricle, Lerangte... mà chúng ta đều có thể nhìn thấy tên trong rất nhiều sách giáo khoa toán học. Nhưng họ không thể nói là lao động phí công. Năm 1770 Ơle chứng minh khi n = 3, n = 4 là đúng với định lý Fecma. Năm 1825, Diricle và Lerangte chứng minh kết luận chính xác khi n = 5. Năm 1839 Ramee chứng minh kết luận chính xác khi n = 7. Kumeier với công việc có tình sáng tạo “số lý tưởng” làm ông năm 1897 có thể chứng minh lời nói của Fecma là sai lầm với chỉ số nhỏ hơn 100 ngoại trừ số 37, 59 và 67... Đến tận 1976, có người dùng máy tính điện tử chứng minh khi n < 125000 đều đúng với định lý Fecma. Do những thành tựu này xem ra rất hứng phấn, nhưng nếu tiếp tục làm như vậy, người ta mãi mãi không có cơ hội làm cho ''định lý Fecma'' thực sự trở thành một định lý, bởi phạm vi giá trị lấy được của n là số tự nhiên vô cùng tận.
Sự việc đến lúc sắp kết thúc vào thế kỷ 20 đã có những chuyền biến căn bản: Tháng 9 năm 1994, cuối cùng nhà toán học người Anh Wiles đã hoàn toàn chứng minh định lý Fecma, làm cho nó thành một định lý thực sự từ thế kỷ 21 về sau. Con đường tấn công cuối cùng với bản thân Fecma, Ơle và Kumoer hoàn toàn không giống nhau, nó là rất nhiều nhánh của toán học hiện đại (như lý luận đường cong hình bầu dục, lý luận mô hình thức, lý luận biểu thị Galoa...), kết quả tổng hợp phát huy tác dụng kéo theo số lượng lớn lý luận toán học cao sâu và rất nhiều cống hiến to lớn của các nhà toán học, đến nỗi chúng ta không có cách miêu tả nét khái quát chứng minh. Do công tác kiệt suất, tại đại hội các nhà toán học quốc tế 1998, Wiles giành được vinh dự rất cao: Cho dù do vấn đề tuổi tác, Wiles không có cách nào nhận được giải thưởng Fields, nhưng ủy ban chuyên môn của đại hội đã sắp xếp một buổi để ông báo cáo chuyên đề trong một hội trường rất lớn. Buổi tối hôm đó, rất nhiều người đã chạy đến hội trường trước mấy tiếng đồng hồ để chiếm chỗ ngồi...
Câu chuyện về định lý Fecma đã đặt một dấu chấm hết. Trong quá trình chứng minh định lý này nảy sinh rất nhiều ý tưởng và thành quả toán học mới thúc đẩy mạnh toán học phát triển, làm cho ý nghĩa của định lý Fecma đã vượt ra ngoài bản thân nó.
