Nội dung

CÓ MẤY CÁCH TÍNH TIÊN XU THÀNH 1 HÀO.

Câu hỏi này dường như rất đơn giản, chỉ cần tính nhẩm là được:

(1) Dùng tất cả tiền 1 xu.

(2) Dùng tiền 1 xu và 2 xu. Do tiền 2 xu trong đó có thể có 1, 2, 3, 4 và 5 đồng 2 xu, vì vậy tổng cộng có 5 cách.

 (3) Dùng 1 đồng 5 xu, 5 xu còn lại có 3 cách góp: 5 đồng 1 xu; 1 đồng 2 xu và 3 đồng 1 xu; 2 đồng 2 xu và 1 đồng 1 xu.

(4) Dùng 2 đồng 5 xu, cũng chỉ có 1 cách. Vậy tổng số là 1 + 5 + 3 + 1 = 10 (cách)

Vậy có cách ''thông thường khác không?'' Có chứ. Chỉ cần bạn tính hệ số A₁₀ của X¹⁰ trong công thức dưới đây là được:

(1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷+x⁸+x⁹+x¹⁰).(1+x²+x⁴+x⁶+x⁸+x^l0).(1+x⁵+x¹⁰)=1+A₁x+A₂x²+ ...+A₁₀x¹⁰+. . .+x³⁰

A₁₀ bằng bao nhiêu?

(1) x¹⁰ trong 2 tích thừa số trước và 1 trong hàng thứ 3 là x¹⁰, còn trong 2 tích thừa số trước có x¹⁰ và 1, x² và x³, x⁴ và x⁶, cứ 2 lần số mũ cộng với nhau thành x¹⁰, tổng cộng có 6 x¹⁰.

(2) Tích số trong 2 thừa số trước là x⁵ và mũ số trong thừa số thứ 3 cũng có thể thành x¹⁰. Bởi vì x trong thừa số thứ 2 chỉ có các số mũ chẵn thứ tự nhau, cho nên chỉ có 3 loại hình là x⁵ và 1, x³ và x², x¹ và x⁴, tức là có 3x¹⁰.

(3) cuối cùng còn thừa ra 2 thừa số mũ ở 2 thừa số trước và với x¹⁰ trong thừa số thứ ba, ta được 1x¹⁰.

Tổng hợp (1), (2) và (3) ta có: A¹⁰=6+3+1=10.

Kết quả giống như chúng ta đã tính nhẩm.

Phương pháp này gọi là ''phương pháp số mẫu hàm''. Nó là một phương pháp quan trọng được nhà số học người Thuỵ Sỹ Ơle nêu ra khi nghiên cứu phân tích về số nguyên.

Nếu muốn hỏi: dùng tiền 1 xu, 2 xu, 5 xu, 1 hào, 2 hào, 5 hào để tích đủ mặt đồng (100 xu) thì có bao nhiêu cách tích góp? Nếu tính nhẩm thì rất khó nhưng vẫn có thể dùng phương pháp số mẫu hàm, vế trái công thức lúc này sẽ là:

(1+x+x²+x³+...+ x¹⁰⁰)

(1+x²+x⁴+. . .+x¹⁰⁰)

(1+x⁵+x^l0+. . +x¹⁰⁰)

(1+x^l0+x²⁰+...+x¹⁰⁰)

(1+x²⁰+x⁴⁰+. ..+x¹⁰⁰)

(1+x⁵⁰+x^l00)

Chúng ta chỉ cần tìm ra hệ số A¹⁰ của x¹⁰⁰ trong công thức triển khai của nó là được. Thao tác máy móc này sẽ rất dễ dàng khi sử dụng máy tính.