Làm thế nào khi số khả năng là vô hạn?
Sự việc thường phức tạp hơn nhiều khi toàn bộ các khả năng là vô hạn và không đếm được. Có nhiều ví dụ về một tình huống như vậy, như hướng rơi khả dĩ của một cái kim xuống đất, đường đạn khả dĩ sau khi một trái phá phát nổ, mực nước khả dĩ của một con sông, v.v… Trong những trường hợp này, ta không thể quy một xác suất vào từng phần tử của toàn bộ các khả năng (tổng số các khả năng có thể là vô hạn, trong khi lẽ ra phải bằng 1). Lẽ ra đếm số phần tử tương ứng với một sự kiện E, như trong trường hợp hữu hạn, việc đánh giá xác suất đòi hỏi phải "đo được'' tập hợp E. Nói cách khác, cần quy một độ dài cho một đoạn đường cong, một diện tích cho một mảnh bề mặt, v.v...Ví dụ, nếu ta ném phi tiêu vào một tấm bia lớn bằng cách ngắm bất kỳ, thì xác suất trúng hồng tâm là tỷ số giữa giữa diện tích của hồng tâm và diện tích tổng cộng của bia. Khái quát hơn, trong trường hợp vô hạn, ta đi đến tích phân mật độ xác suất: nếu p(x) là mật độ xác suất để một phần tử nằm ở x, thì xác suất để có phân tử nằm trong khoảng x = 1 và x = 5 chẳng hạn, bằng ∫51 p(x) dx. Phép tính tích phân này chứng tỏ mối liên quan chặt chẽ giữa hệ tiên đề, về xác suất do Kolmogorov xây dựng với thuyết đo và lấy tích phân của Henri Lebesgue.
