PHÂN BỐ MAXWELL
Công thức phân bố các phân tử khí lý tưởng theo vận tốc, là kết quả đầu tiên được ''mang tên'' Maxwell là do ông đưa ra khi dự kỳ thi tuyển nghiên cứu sinh với nhà vật lý nổi tiếng George Gabriel Stokes (1819 - 1903). Một người thành thạo lịch sử của Cambridge, P.L. Kapitsa, từng kể rằng : ''Điều đó xảy ra ở Cambridge vào nửa cuối thế kỷ trước. Khi đó Stokes giảng dạy vật lý lý thuyết. Một anh chàng tới chỗ ông dự thi nghiên cứu sinh. Thi nghiên cứu sinh thời đó khá khó khăn vì chỉ tuyển số lượng rất ít, chỉ vài ba người, và cuộc đấu giành quyền vào đó thật vất vả. Stokes là người ra đề thi, hơn nữa thể thức là thế này: có 10 đề thi, thí sinh tự chọn lấy đề nào anh ta muốn. Mỗi người được mấy giờ đồng hồ chuẩn bị và vị giáo sư Stokes chẳng ngần ngại gì không đem các bài toán chưa ai giải được làm đề thi, xem anh ta có biết rằng đó là loại bài toán chưa giải được hay không. Ông đã đặt bài toán, giả dụ, như sau: Hãy tìm sự phân bố vận tốc các phân tử trong chất khí. Bấy giờ sự phân bố ấy chưa được biết và nói chung từ thời Bernoulli mọi người đều coi vận tốc mọi phân tử trong chất khí là gần bằng nhau. Một anh chàng (lúc ấy chưa tới 30 tuổi), trước sự ngạc nhiên của Stokes, đã giải quyết bài toán đó, và giải rất đúng. Chắc các bạn đã đoán ra ai rồi chứ: đó chính là Maxwell.
Maxwell lý luận đại thể thế này: Nếu thành bình chứa khí là bất động (thể tích V = const) và không xuyên thấm đối với các hạt phân tử (N = const) nhưng cho phép trao đổi nhiệt giữa khí và xung quanh, thì sau một thời gian nhất định trong bình đạt được cân bằng nhiệt.
Giả sử N là tổng số hạt chất khí, còn vxvy và vz là các thành phần vectơ vận tốc của một hạt theo ba hướng vuông góc nhau x, y và z. Lại giả thuyết rằng số hạt có thành phần vận tốc vx nằm trong khoảng giữa vx và vx + dvx bằng N.f(vx)dvx, với f là hàm số phân bố phải tìm. Cũng lập luận như thế cho các thành phần khác vy, vz; các hàm f(vy), f(vz) phải trùng với f(vx) vì chúng hoàn toàn bình đẳng với nhau. Vì vx, vy và vz là độc lập nhau và là ngẫu nhiên nên trong trạng thái cân bằng không tồn tại một hướng ưu tiên nào của chuyển động. Có nghĩa là số phân tử trong khoảng vận tốc từ 
đến 
phải bằng
N.f(vx)f(vy)f(vz) dvx dvy dvz
và sẽ chỉ phụ thuộc vào vận tốc
hay là: 
Phương trình phiếm hàm (9) có lời giải như sau:
Nếu A là dương thì số các hạt tăng lên vô hạn với sự tăng giá trị vận tốc; vì thế phải chọn A là âm và bằng (-1/
). Thêm nữa các hằng số 
và 
được xác định hai điều kiện chuẩn hóa:
và 
Khi tính đến hệ thức (7) ta đi tới hàm số phân bố phân tử theo vận tốc của Maxwell:
(10)
Thông số T ở đây đặc trưng cho tập thể hạt nói chung, và đồ thị hàm số phân bố được vẽ ở hình bên.
Lần đầu tiên trong vật lý học, việc rút ra một công thức được thực hiện dựa hoàn toàn vào phương pháp thống kê tức xác suất.
Khi điều kiện tiếp xúc nhiệt trên biên ngăn cách giữa khí và môi trường bị thay đổi thì chính hàm phân bố bị thay đổi theo. Ví dụ thay vì tiếp xúc đẳng nhiệt (a) lại xảy ra tiếp xúc đoạn nhiệt (b), nghĩa là loại trừ mọi sự trao đổi năng lượng dưới bất kỳ hình thức nào, thì nội năng toàn phần Etp sẽ giữ nguyên giá trị chính xác của mình, chứ không phải là trung bình.
Khi đó hàm phân bố có dạng cực kỳ giản đơn: (về hình thức là ứng với T -> 
) f(v) = const là một đường thẳng. Tất cả các độ lớn vận tốc v đều có cùng xác xuất như nhau!
Phân bố Maxwell của các phân tử theo vận tốc (đồ thị). Với sự tăng nhiệt độ, số lượng các phân tử nhanh sẽ tăng lên nhưng điện tích dưới đường cong vẫn giữ nguyên không đổi.
Maxwell không sử dụng các lập luận động lực học theo thói thường trong vật lý học thời bấy giờ. Động lực học các va chạm giữa các phân tử ông nhấn mạnh là rất tùy ý song chỉ đóng vai trò ''dự bị''. Bài toán dõi theo số phận và hành vi phân tử riêng lẻ hoàn toàn không cần đặt ra. Maxwell coi tất cả các phân tử - các hạt chất khí - hoàn toàn như nhau. Như vậy vấn đề trao đổi vận tốc lẫn cho nhau giữa các hạt chỉ là ''việc nội bộ'' của chính các phân tử. Điều quan trọng là làm sao cho các va chạm cũng như các phân tử càng nhiều càng tốt và ngoài ra bảo toàn được năng lượng trung bình của chất khí về tổng thể, và giữ nguyên dạng phân bố theo vận tốc.
Kết luận tổng quát của Maxwell là ở chỗ ''vận tốc được phân bố giữa các hạt theo cùng một quy luật như quy luật phân bố sai số quan sát (được gọi là phân bố chuẩn hoặc phân bố Gauss). Vận tốc nằm trong khoảng 
, nhưng số các phân tử có vận tốc quá lớn hay quá bé đều tương đối ít'' (xem phần ''Xử lý các sai số).
Có thể nói ngày khai sinh ra ''bức tranh thống kê của thế giới'' chính là ngày 21 tháng 9 năm l859, khi James Clerk Maxwell báo cáo các kết quả của mình tại phiên họp của Hội hỗ trợ phát triển khoa học Anh.
ÍCH LỢI CỦA VIỆC BIẾT DỰA VÀO UY TÍN
Lịch sử công thức 
- phương trình cơ bản của lý thuyết động học phân tử của khí lý tưởng đáng được chú ý. Người tiến gần hơn ai hết tới phương trình này (rất lâu trước Clausius và Maxwell) là nhà vật lý người Anh J. J. Waterston. Năm 1845 ông đã trình bày công trình của mình trong báo cáo tại phiên họp của Hội Hoàng gia Luân Đôn. Tuy nhiên người phản biện đã đánh giá công trình này là ''rỗng tuếch, nếu như không nói là vô nghĩa, thậm chí không xứng đáng được đọc trước Hội''. Rất lâu sau, vào năm 1859 Maxwell cũng đưa ra công thức đó một cách độc lập với Waterston và đã được các nhà khoa học thừa nhận.
Ghi chép của Waterston cùng chịu một số phận như các cuốn ghi chép của Carnot: nó chỉ được công bố sau gần nửa thế kỷ (năm 1892). Huân tước Rayleigh tìm được công trình đã mất tính thời sự vì bị bỏ quên này trong đống hồ sơ lưu trữ của Hội Hoàng gia Luân Đôn và đưa vào đó một lời nhận xét chua chát: nếu tác giả khéo biết nhắc đến tên tuổi bậc tiền bối vĩ đại của mình là Daniel Bernoulli, thì người phản biện đã chẳng dám hàm hồ phủ nhận công trình ấy nữa, và việc đặt nền móng cho khái niệm động năng phân tử đáng ra đã có thể diễn ra sớm hơn 15 năm.
