PHÂN BỐ GAUSS
Ta hãy tạm thời quên đi các tích phân trên kia và làm một thí nghiệm tưởng tượng đơn giản. Ta hãy làm một cuộc dạo chơi ảo vào một công viên tưởng tượng được chia nhỏ dưới dạng những hình vuông với các lối vào ở các góc. Người ta phải đi qua công viên bằng những con đường mòn tạo thành một mạng lưới hình vuông đều song song với các cạnh của công viên.
Ta hãy đi lui đi tới trong công viên sau khi định ra quy tắc đi tiếp từ điểm vào. Điều đó có nghĩa là ở mỗi ngã tư ta chỉ có thể chọn hai con đường: sang phải xuống dưới hay sang trái xuống dưới (với điều kiện là lối vào ở góc trên). Nếu không nghĩ ngợi gì về việc rẽ phải hay rẽ trái thì cuộc du ngoạn trở nên ngẫu nhiên, nghĩa là sẽ không thể dự đoán chính xác xem người bộ hành sẽ ở nơi nào sau khi đi qua vài hình vuông. Tuy nhiên ta có thể tính được xác suất để người ấy ''rơi vào'' ngã tư này hay ngã tư kia!
Quả nhiên, sau khi đi qua một hình vuông từ lối vào, chúng ta sẽ tới điểm Ao hoặc A1 với một xác suất như nhau. Và ở Ao cũng như ở A1 ta đều có thể quay sang phải cũng như sang trái, bởi vậy sau khi đi qua hai hình vuông, cơ hội để đến được các điểm Bo và B2 là giống nhau còn xác suất đi tới B1 sẽ cao hơn hai lần. Sau khi nhớ lại rằng, tổng của tất cả các xác suất này bằng một, ta sẽ tìm được:
p(Bo) = p (B2) = l /4, p(B1) = 1/2
Chẳng khó khăn gì để biết được có thể tới các điểm khác nhau của công viên bằng bao nhiêu cách và tính được các xác suất tương ứng. Trên hình vẽ cho thấy hai sự phụ thuộc của xác suất p đi tới một điểm vào khoảng cách của nó tới đường chéo của công viên đối với 10 và 15 hình vuông đã được đi qua. Ta thấy rõ tính quy luật thú vị sau đây: hàm p(x) có dạng hình chuông, thêm vào đó ''chuông'' càng cao thì nó càng mảnh. Càng có nhiều nhân tố ngẫu nhiên ảnh hưởng tới kết quả (càng có nhiều hình vuông được đi qua) thì phân bố xác suất được mô tả bởi công thức dưới đây càng đúng
Ở đó kỳ vọng toán học M = 0 và độ lệch tiêu chuẩn 
. Đó là phân bố chuẩn hay phân bố Gauss. Phân bố này xuất hiện mọi lúc, khi giá trị của đại lượng chịu tác động của nhiều nhân tố ngẫu nhiên không phụ thuộc lẫn nhau (là tổng của chúng), đúng như tình huống xuất hiện trong quá trình đo. Chính tính chất này của phân bố chuẩn làm cho nó trở nên rất phổ dụng và quan trọng trong các nghiên cứu thực tiễn.
Đây chỉ là một vài ví dụ về các tình huống dẫn tới phân bố chuẩn. Nếu với một nhóm đông người, ta lập phân bố theo chiều cao hay trọng lượng ta sẽ thấy nó gần với phân bố chuẩn vì chiều cao và trọng lượng của mỗi người được quyết định bởi một số lớn các thông số ngẫu nhiên. Khi cân một người bằng những chiếc cân rất chính xác nguồn gốc gây ra các sai lệch ngẫu nhiên trong kết quả cân có thể là những hạt bụi bám trên các bám trên các đĩa cân, các hạt bụi bay khỏi đó, các luồng gió, rung động của bàn và nhiều yếu tố khác. Các kết quả đo số hạt Vũ Trụ bay qua một diện tích cho trước và số phân rã của các hạt nhân phóng xạ có trong mẫu sau một khoảng thời gian khá dài cũng dẫn đến phân bố chuẩn.
Trên đồ thị p(x) vẽ phân bố chuẩn, kỳ vọng toán học là điểm ở đó hàm đạt giá trị cực đại (tiện thể ta cũng thấy, phân bố có tính đối xứng đối với điểm này). Cũng có thể tìm được độ lệch tiêu chuẩn của phân bố chuẩn theo đồ thị: đó là khoảng cách từ điểm cực đại tới điểm ở đó giá trị hàm giảm 
lần (bằng khoảng 0,6 giá trị cực đại).
Có tới gần 68 % các dữ liệu, nghĩa là các kết quả đo, rơi vào khoảng từ M - 
đến M + . Nếu tăng khoảng này lên gấp đôi, số dữ liệu rơi vào đây gần bằng 95%, còn nếu tăng khoảng này lên 3 lần - thì sẽ là gần 99%.
