Số nguyên tố được phân bố như thế nào?
Sự cố gắng tối thiểu giúp chứng minh các kết quả đơn giản về số nguyên tố. Ví dụ, khi khai thác sự xây dựng của Euclide đã nêu, ta có thể chứng minh có vô hạn số nguyên tố dọc theo dãy gồm các số 3, 7, 11, 15, 19, 23, v.v... nghĩa là dạng 4n + 3. Cũng có vô hạn số nguyên tố như vậy dọc theo dãy có dạng 6n + 5, hoặc dạng 8n + 5 với n số nguyên. Dĩ nhiên, cho dù tất cả các số của những dãy này không phải là số nguyên tố và có những số nguyên tố không có dạng này. Một kết quả khái quát hơn và khó chứng minh hơn trong mạch này là "định lý Dirichlet'', phát biểu rằng có vô hạn số nguyên tố có dạng an + b, dù các số nguyên a và b được quy định như thế nào từ trước.
Vẫn liên quan đến sự phân bố số nguyên tố, có một vấn đề vẫn chưa được giải quyết là sự phỏng đoán những số nguyên tố sóng đôi, chỉ ra rằng có vô hạn số nguyên tố với hiệu số là 2 (như 11 và 13, 17 và 19, v.v…). Những số nguyên tố sóng đôi lớn nhất được biết hiện nay đã được Daniel Papp, một nhà toán học không chuyên khui ra năm 2002, là:
33218925 x 2169690 - 1 và 33218925 x 2169690 + 1.
Để đánh giá việc người ta ít gặp một tập hợp các số nguyên, có một quan niệm là chú ý đến tổng số nghịch đảo của các thành phần trong tập hợp này: ví dụ, tổng 1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+..., dựa trên tất cả các số nguyên, là vô hạn, trong khi tổng 1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+... có giá trị hữu hạn (là 2): như vậy “tầm cỡ” của tập hợp tất cả các số nguyên ''lớn hơn'' tầm cỡ có lũy thừa 2. Euler đã chứng minh rằng tổng số nghịch đảo của các số nguyên tố là vô hạn, tạo ra một bằng chứng bất ngờ là các số nguyên tố có lượng vô hạn (một tổng các số chỉ có thể là vô hạn nếu nó chứa vô hạn số hạng). Trái lại, đối với các số nguyên tố sóng đôi, năm 1919 nhà toán học Na Uy Viggo Brun đã chứng minh rằng tổng số nghịch đảo của chúng là hữu hạn, điều này không giúp người ta biết được là nó gồm một số vô hạn hoặc hữu hạn các số hạng.
