Có bao nhiêu số nguyên tố?
Lượng số nguyên tố là vô hạn. Kết quả này ít ra đã được biết từ thời Euclide, năm 300 trước Công nguyên. Ông là người đã đưa ra cách chứng minh mà hiện nay là cổ điển. Ta hãy lập một danh mục hữu hạn các số nguyên tố. Nhân tất cả chúng với nhau và thêm 1 vào kết quả để thu được một số mà ta gọi là n: n không chia được cho bất kỳ số nguyên tố nào trong danh mục, vì vướng 1. Nhưng n có thề phân tích thành các thừa số nguyên tố. Nếu ta coi p là một trong những thừa số này, thì p nhất định khác với tất cả các thừa số trong danh mục đầu trên. Do đó, như Euclide đã viết (''Tập hợp các số nguyên tô lớn hơn bất kỳ tập hợp nào được đưa ra''), chúng ta đã chứng minh rằng, không có một danh mục hữu hạn nào, dù lớn đến đâu, có thể bao gồm toàn bộ các số nguyên tố. Sự vặn vẹo ngôn ngữ này được giải thích là vào thời đó người ta khó chịu khi trực tiếp nói đến tính vô hạn, cho du đúng là như thế.
Từ đó người ta đã nghĩ đến nhiều cách thử khác để chứng mình các số nguyên tố là vô hạn. Một trong cách thử này đã được George Pólya đưa ra trong những năm 1920 là một bài tập số học rất hay: chứng minh rằng các "số Fermat", nghĩa là dạng 22n + 1, không có ước số chung nào giữa chúng với nhau: người ta suy ra từ đó là việc phân tích mỗi số Fermat mới thành các thừa số nguyên tố tạo ra những số nguyên tố luôn luôn khác với các số từ phân tích những số Fermat ở ngay trước đó (bản thân những số này không phải là số nguyên tố, trừ ngoại lệ). Nhân thể, nếu ta lấy một số nguyên tố trong phân tích từng n số đầu tiên của Fermat, thì số ở ngay trước cho thấy rằng danh mục các số nguyên tố đã lập như vậy không chứa cùng số hai lần, vì vậy nó đảm bảo ít ra có n số nguyên tố khác nhau nhỏ hơn 22n + 1.
