Có một công thức đơn giản nào cho tất cả các số nguyên tố không?
Đó là… một bí mật. Ở thế kỷ XVIII, Leonhard Euler, một trong những chuyên gia giỏi nhất có liên quan, nghi ngờ rằng người ta có thể tìm ra một công thức một ngày nào đó. Cho đến nay, tình thế buộc người ta phải nhận thấy rằng không thể nói trái lại điều đó. Chắc hẳn là có công thức. Ví dụ, năm 1976, James Jones và Douglas Wiens ở Trường Đại học Calgary, Diahachiro Sato ở Trường Đại học Saskatchevan, Canada, đã trình bày một đa thức (một biểu thức chỉ có các phép cộng và phép nhân tham gia) từ đó có thể thu được tất cả các số nguyên tố về mặt lý thuyết. Chỉ có một vướng mắc: đa thức này có 26 biến số và chỉ cung cấp các số nguyên tố đối với những giá giá trị nguyên tạo ra một số dương từ các biến số này. Hiện nay, không một tập hợp rõ ràng nào của 26 giá trị cho phép tìm ra số nguyên tố nhỏ nhất từ đa thức này!
Sự khó khăn khác thường về xác định một công thức rõ ràng “hợp lý” lại càng kỳ lạ vì có một cách gần như trẻ con để lập một danh mục các nguyên tố: đó là cái ''sàng Eratosthenes'', tìm tên của nhà toán học thời Cổ đại phát minh ra nó (ông cũng là người đã đo chu vi của Địa cầu). Sự đơn giản rõ ràng của cái sàng Eratosthenes không che giấu được sự kiện là nó không thật sự giải quyết vấn đề của một công thức cho các số nguyên tố, vì để biết số nguyên tố thứ n, cái sàng này buộc chúng ta phải xác định tất cả những số trước đó.
Bảng 1. Sàng Eratosthenes
Phương pháp dùng sàng Eratosthenes là viết danh mục các số nguyên theo trình tự ngày càng tăng bắt đầu từ 2 và dừng lại ở một giá trị giá trị nào đó (ở đây là 20):
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Khoanh giá trị 2 và gạch đi tất cả các bội số của 2 trong danh mục:
2 3 5 7 9 11 13 15 17 19
Không kể 2, số ở tận cùng bên trái chưa gạch là 3. Khoanh số này lại và gạch đi tất cả các bội số của nó:
2 3 5 7 11 13 17 19
Cuối cùng, nghĩa là sau khi tất cả các số hoặc đã gạch bỏ, hoặc đã khoanh lại, danh mục của chúng ta giống như sau:
Toàn bộ các số nguyên tố nhỏ hơn 20 là danh mục của những số mà chúng ta đã khoanh lại.
