TÍCH HAI ĐƯỜNG THẲNG NỐI TỪ TRUNG ĐIỂM
HAI CẠNH ĐỐI DIỆN CỦA MỘT TỨ GIÁC BẤT KỲ
CÓ BẰNG DIỆN TÍCH CỦA NÓ KHÔNG?
Về vấn đề này, nhà toán học Trung Quốc nổi tiếng Hoa Luân đã từng nói đến. Chúng ta đều biết, diện tích của hình vuông hay hình chữ nhật, có thể được tính bằng tích của hai đường thẳng nối từ trung điểm của hai đường thẳng đối diện nhau. Nhưng đối với một tứ giác bất kỳ thì điều này có còn đúng không?
Giả sử có một tứ giác bất kỳ ABCD, hai đường thẳng nối từ trung điểm của hai cạnh đối diện EG và FH giao nhau tại P như vậy điểm P cũng là trung điểm của EG và FH. Chúng ta có thể tưởng tượng có 4 quả cầu nhỏ mỗi quả có trong lượng là 10N lần lượt đặt tại 4 điểm A, B, C, D. Do hợp lực của hai quả cầu nhỏ AB sẽ tác dụng lên điểm E với độ lớn là 20N; hợp lực của hai quả cầu C, D tác dụng lên điểm G với độ lớn cứng là 20N, cho nên hợp lực của 4 lực nhỏ nhất định phải tác dụng lên trung điểm của đoạn thẳng EG, độ lớn là 40 N. Cũng với cách lý luận như vậy, hợp lực của bốn lực nhỏ nhất đành phải tác dụng lên trung điểm của đoạn thẳng Fh, độ lớn cũng là 40N. Điều này chứng tỏ trung điểm của EG và FH đều là nơi chịu tác dụng của hợp lực của bốn lục nhỏ, là cùng một điểm, vì thế điểm P là trung điểm của EG và FH.
Lại giả sử dùng một con dao cắt tứ giác thành 4 miếng men theo hai đường thẳng là EG và FH, và lấy H, G, F làm mắt xích, dịch chuyển 4 mảnh này ra bên ngoài, sao cho AH và DH trùng vào nhau, DG và CG trùng nhau, CF và BF trùng nhau. Do tổng các góc trong của một tứ giác bằng 360o, tức A + B+ C+ D= 360o. Lúc này, đoạn AE của miếng thứ nhất và đoạn BE của miếng thứ hai vừa vặn trùng khớp với nhau. Thật dễ dàng để biết rằng, hình mới vừa được ghép xong là một hình bình hành, với hai cặp cạnh đối là EG, FH và bốn góc trong của nó lần lượt bằng với góc giao giữa EG và FH. Diện tích của hình bình hành này và tứ giác ban đầu là như nhau, vì thế S = EG x HF x sin HPG ≤ EG x HF.
Bất đẳng thức trên xảy ra dấu ''='' khi và chỉ khi sin HPG = 1, cũng chính là khi
Vì thế, trong những tình huống thông thường, diện tích của một hình tứ giác mà chúng ta tính được khi lấy tích của hai đường thẳng nối từ trung điểm của hai cạnh đối diện là diện tích lớn nhất.
