Nội dung

VẼ NGÔI SAO 5 CÁNH NHƯ THẾ NÀO?

Ngôi sao 5 cánh là một hình mà mọi người đều rất quen thuộc, nhưng bạn có thể vẽ chính xác được một ngôi sao 5 cánh không?

Dưới đây chúng tôi sẽ giới thiệu một phương pháp vẽ khá chính xác.

Vẽ một hình tròn, giả sử tâm là O.

Vẽ 2 hai đường kính vuông góc nhau là AZ và XY.

Lấy trung điểm M của OY.

Lấy M làm tâm đường tròn, MA làm bán kính, vẽ cung AN cắt đường kính OX tại giao điểm N.

Lấy A làm tâm đường tròn, An làm bán kính, trên đường tròn lần lượt vẽ các cung bằng nhau sao  cho AB=BC=CD=DE=AN.

Nối AD, AC, EB, EC, BD, thế là ngôi sao 5 cánh đã vẽ xong rồi:

Chúng ta hãy cùng chứng minh một chút về tính chính xác của phương pháp này. Giả sử bán kính của đường tròn là R, do cách vẽ ngôi sao ở trên có thể biết AN² = AO² + ON²= AO² + (AM² - OM²), vì thế:

Nếu ngôi sao mà chúng ta vẽ là chính xác, khi nối 5 đỉnh của ngôi sao này vào, hình mà chúng ta thu được sẽ là một hình ngũ giác đều nội tiếp hình tròn. Cũng chính là nói, độ dài của AN tính ra được ở trên cũng chính là độ dài bán kính của hlnh tròn nội tiếp ngũ giác đều.

Trong sách giáo khoa trung học, chúng ta đã biết độ dài của bán kính đường tròn nội tiếp thập giác đều là:

Dưới đây chúng ta sẽ tính độ dài của cạnh ngũ giác đều nội tiếp đường tròn. Giả sử DZ = DC = a₁₀ là hai cạnh của ngũ giác đều nội tiếp hình tròn có bán kính R, tức DC = a₅ là một cạnh của ngũ giác đều nội tiếp đường tròn.

Vì thế, diện tích của tam giác cân ODZ là

Lại có,

Vì thế,

Hiển nhiên, An = a⁵, vì thế phương pháp vẽ ngôi sao mà chúng ta nói ở trên là hoàn toàn chính xác.

Nhưng không phải tất cả các đa giác đều nội tiếp hình tròn đều có thể dùng compa và thước kẻ để vẽ. Cách vẽ hình của tam giác đều, ngũ giác đều, thập ngũ giác đều và những đa giác đều có số cạnh là 2ⁿ ,2ⁿ x 3, 2ⁿ x 5, 2ⁿ x 15 (n là số chẵn dương) thì đã được biết vào hơn 2000 năm trước dưới thời đại Ơcơlit. Và sau đó vẫn không hề thay đổi, cho đến thế kỷ 18, Gaus lần đầu tiên vẽ được thập thất giác đều và khẳng định: một đa giác đều có n cạnh, và chỉ khi n = 2^mP₁P₂...P_n , thì mới có thể dùng compa và thước để vẽ hình. Ở đây P_l, P₂, P₃ lần lượt là số nguyên tố không giống nhau của hình 2² + l, còn m là một số chẵn tuỳ ý hoặc 0.Tính tất yếu và tính đầy đủ của định lý này đã được chính bản thân Gaus và một nhà toán học khác chứng minh.