TƯ DUY PHI TUYẾN
Lý thuyết tuyến tính có một đặc điểm để phân biệt - đó là nguyên lý chồng chất, cho phép từ một tập nhất định các nghiệm riêng có thể lập một nghiệm bất kỳ khác.
Khi chuyển sang thế giới phi tuyến thì nguyên lý chồng chất không còn ý nghĩa gì nữa; tức là đã hoàn toàn biến mất. Các nhà vật lý bước những bước đầu tiên trong thế giới này nơi mà tất cả mọi thứ đều không như trước, đều mâu thuẫn với những khái niệm và trực giác đứng vững đã lâu năm, từng hy vọng rằng công cụ toán học tuyến tính bằng các thứ mẹo mục sẽ có thể giải được những bài toán mới, song họ đã bị thất vọng. Việc thay thế giả tạo các vấn đề phi tuyến bằng những vấn đề tuyến tính, theo lời của L. D. Mandelstam, ''phần lớn không mang lại kết quả, mà đôi khi lại có hại''. Chưa có sẵn các phương pháp toán học, nhà vật lý đôi khi cố gắng một cách gượng ép về toán học giải các bài toán phi tuyến từng phần một dựa theo những đặc tính riêng của chúng. ''Cách làm đó tự nó tất nhiên là đúng.- Mandelstam viết - một loạt các nhà nghiên cứu theo cách đó đã thu được những kết quả rất có giá trị cho đến tận ngày nay... Nhưng chưa kể đến việc những nghiệm như vậy của các bài toán riêng lẻ hầu như không có cơ sở toán học đầy đủ, có thể nói rằng: xem cách giải quyết như vậy như một con đường lớn nên đi thì không hợp lý vì nó không dẫn đến việc thiết lập những quan điểm chung, thiết lập cơ sở toán học cũng như vật lý học cần thiết để bao quát đầy đủ và toàn diện, lĩnh vực các dao động phi tuyến ở phần mà chúng ta đã biết, và quan trọng hơn là cho sự phát triển tiếp theo''. Là nhà khoa học có tầm nhìn rộng lớn nhất, là người am hiểu sâu sắc tư duy dao động tuyến tính, Mandelstam đã đánh giá đúng ngôn ngữ ''quốc tế'' của vật lý phi tuyến: nó cho phép xác định ''tính như nhau về cơ bản'' của các hiện tượng khác xa nhau về hình thức; hiệu lực nhận thức lớn lao của các khái niệm toán học đã vạch ra không phải trừu tượng mà gắn chặt với một loạt các hiện tượng vật lý, khả năng đoán nhận nghiệm trong một số trường hợp và còn phải giải quyết tiếp các phương trình vi phân trong những trường hợp khác.
Các mô hình toán học hiện đại là những phương trình phi tuyến tính. Mặc dù chúng ít nhiều đã mất đi vầng hào quang không thể đạt tới được trước kia, song người ta cũng chỉ có thể tìm thấy nghiệm tường minh của chúng trong một số trường hợp đặc biệt. Như thường lệ, để đạt kết quả người ta kết hợp các phương pháp số và giải tích. Các mô hình được giải chính xác thường được đặc biệt xây dựng nhằm dựa vào đó tạo ra chiến lược và chiến thuật tấn công vào những phương trình không giải được chính xác! Mỗi bài toán có một số phận riêng biệt. Một số thì biến mất tăm để hòa tan vào lý thuyết tương lai, số khác thì có cuộc sống lâu dài và vinh quang. Nhưng tất cả chúng tạo thành các mô sống của một nguyên thể có tên là khoa học phi tuyến tính.
