Ý NGHĨA VỀ SỰ GẶP GỠ GIỮA SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ?
Về mặt này, có thể nói đến đóng góp của toán học Ả Rập trong lĩnh vực lý thuyết số cổ điển. Đến cuối Thế kỷ thứ IX, hầu hết các văn bản quan trọng nhất của Hy Lạp về số học đều đã được dịch, như các tác phẩm của Euclides về số học, cuốn Khái luận số học của Nicomaque de Gérase và cuốn Số học của Diophante d’Aalexandrie. Sau những bản dịch kể trên, và như thể để đối đáp lại các bản dịch đó, đã hình thành nhiều chương trình mới trong lý thuyết số. Lấy ví dụ - lý thuyết các số chẳng hạn. Sự phát triển cửa lý thuyết này làm xuất hiện hai giai đoạn quan trọng. Trong khuôn khổ sổ học Euclides, giai đoạn thứ nhất dẫn đến một loạt kết quả mới. Trong khi đó, nhờ kết quả ứng dụng đại số vào lý thuyết số, một vài Thế kỷ sau, giai đoạn hai dẫn đến sự ra đời của một lĩnh vực phi Hy Lạp trong lý thuyết số. Ta hãy xem xét kỹ thêm hai khía cạnh này. . .
Tuy rằng ở cuối cuốn Nguyên lý của mình, Euclides đã trình bày một lý thuyết các số hoàn chỉnh, nhưng cả ông lẫn Nicomaque de Gérase đều không phát triển lý thuyết các số bạn. Thabit lbn Qulra người dịch tác phẩm của Nicomaque và hiệu đính một bản dịch cuốn Nguyên lý, bản thân cũng là một nhà toán học lỗi lạc, đã quyết định làm việc với lý thuyết này. Ông nêu lên và chứng minh trong một phong cách Euclides thuần túy, định lý quan trọng nhất được biết cho đến nay về các số bạn và định lý ấy ngày nay mang tên ông.
Nếu ở đây ta gạt bỏ mặt huyền bí của các số bạn để chỉ xét đến góc độ toán học, buộc phải thừa nhận rằng ít nhất là đến cuối Thế kỷ XVII, lịch sử các số bạn chỉ gồm có đoạn nói đến định lý lbn Qurra và việc truyền lại nó bởi các nhà toán học thời sau. Trong số những người này, ta có thể kể ra các nhà toán học nổi tiếng Ả Rập như Al - Antaki, Al - Baghdadi, lbn Al - Banna, Al - Umawi và Al - Kashi. . . .với xuất xứ địa lý và niên đại khác nhau, những tên tuổi kể trên nói lên khá rõ sự phổ biến rộng rãi của định lý lbn Qurra mà ta gặp lại trong tác phẩm của Pierre de Fermat năm 1636 và Descartes năm 1638.
Một sự kiện đáng chú ý ở giai đoạn thứ hai là nhà vật lý và toán học nổi tiếng Kamal - Din al - Farisi, mất năm 1320, đã viết một luận án trong đó ông cố ý chứng minh định lý lbn Qurra nhưng theo một con đường khác. Thực vậy, Al - Farisi xây dựng cách chứng minh mới của mình trên sự hiểu biết hệ thống về các ước số của một số nguyên và những phép toán có thể ứng dụng cho các ước số đó. Tuy nhiên, việc chứng minh này trên thực tế là một sự cải tổ không chỉ làm thay đổi triển vọng của số học Euclides mà còn thúc đẩy những đề tài mới trong lý thuyết số. Từ đó ta có thể thực sự nói đến một khu vực phi Hy Lạp trong lý thuyết số.
Để có thể thực hiện công việc nghiên cứu mới này về các ước số, Al - Farisi đã phải xác lập một cách rành mạch những gì mới chỉ tồn tại tiềm tàng trong tập Nguyên lý của Euclides. Ngoài ra, ông cũng đã phải dùng đến những thành tựu của đại số kể từ thời Al - Karaji (Thế kỷ thứ X và XI) và đặc biệt, các phương pháp tổ hợp. Vậy là cách đề cập của Al Farisi hoàn toàn không hạn chế ở việc chứng minh định lý lbn Qurra mà cho phép ông bắt đầu một công cuộc nghiên cứu mới về hai hàm số số học đầu tiên là tổng các ước số của một số nguyên và số các ước số này.
Phong cách đó, ứng dụng đại số và phân tích tổ hợp vào số học Euclides, hãy còn thịnh hành ở Châu Âu trong Thế kỷ XVII, ít ra cũng đến năm 1640. Phân tích những kết luận của Al - Farasi và những phương pháp ông đã sử dụng cho thấy rằng ngay ở Thế kỷ XIII, đã có thể đạt tới một tập hợp các mệnh đề, các kết quả và kỹ thuật mà trước đó người ta coi là thuộc về toán học Thế kỷ XVII.
