CÓ THỂ NÓI GÌ VỀ MỐI QUAN HỆ MỚI
ĐÃ ĐƯỢC THIẾT LẬP GIỮA ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC
Ta thấy rằng từ Thế kỷ thứ IX trở đi, cảnh quan toán học không còn như cũ: nó đã biến đổi và các đường chân trời của nó đã bị đẩy lùi. Trước hết là số học và hình học Hy Lạp ngày càng mở rộng. Ngoài ra, ngay trong lòng các môn toán học Hy Lạp này đã phát triển những khu vực phi Hy Lạp. Quan hệ giữa các môn học cũ không còn như trước và nhiều nhóm khác đã được hình thành. Sự biến đổi về quan hệ này là điều trọng yếu để hiểu lịch sử toán học nói chung, bởi vì mối quan hệ mới giữa đại số và hình học đã sinh ra những kỹ thuật rất nhiều triển vọng.
Các nhà toán học Thế kỷ thứ X bắt đầu tiến hành một công việc chuyển dịch hai chiều chưa bao giờ nghĩ tới: chuyển dịch các bài toán hình học sang ngôn ngữ đại số và ngược lại chuyển dịch các bài toán đại số sang ngôn ngữ hình học. Họ dịch sang ngôn ngữ đại số những bài toán về cố thể, không dựng hình được bằng thước kẻ và compa, như chia góc thành ba phần bằng nhau, hai trị số bình quân, hình bảy góc đều. Ngoài ra, đang đứng trước khó khăn trong việc dùng các căn để giải một phương trình bậc ba, các nhà đại số đồng thời là nhà hình học như Abu al - Jud ibn al - Leith, đã phải dịch phương trình đó sang ngôn ngữ hình học. Nhờ vậy, họ có khả năng áp dụng kỹ thuật các đường cong cắt nhau vào việc nghiên cứu phương trình đó.
Chính nhờ al - Khayyam (1048 - 1131 ) mà nỗ lực đầu tiên thử đem lại một cơ sở cho sự chuyển dịch hai chiều này ra đời. Muốn vượt qua giai đoạn nghiên cứu các trường hợp đặc thù gắn liền với một hình thức nhất định của phương trình bậc hai, al - Khayyam phát triển một lý thuyết các phương trình đại số có bậc thấp hơn ba hoặc bằng ba, đồng thời đem lại một mô thức lập phương trình mới. Sau đó, ông nghiên cứu các phương trình bậc ba, dùng đến những tiết diện cônic nhằm xác định những nghiệm dương thực của những phương trình ấy. Để xây dựng lý thuyết này, al - Khayyam đã phải hình dung rõ hơn để rồi đi đến xác lập những quan hệ mới giữa đại số và hình học. Lý thuyết phương trình từ đó hình như đã vượt qua, tuy còn rụt rè, sự ngăn cách giữa đại số và hình học.
Trong cuốn khái luận Đại số nổi tiếng của mình, al - Khayyam đã đạt được hai thành tựu xuất sắc mà các nhà sử học đã gán nhầm cho Descartes: nghiệm tổng quát cho tất cả các phương trình bậc ba bằng hai cônic cắt nhau; và khả năng thực hiện một phép tính hình học, bằng cách xác định một độ dài đơn vị vốn là một khái liệm cơ bản.
Một nửa Thế kỷ sau al - Khayyam, người thừa kế ông là Sharaf al - Din Al - Tusi đã tiến thêm một bước nữa. Để chứng minh sự tồn tại của một điểm cắt nhau của hai đường cong, nhà toán học này đã phải đề ra các bài toán định vị và tách nghiệm của phương trình, đã nói đến những điều kiện tồn tại của những bài toán ấy để xác định nghiệm đó. Để giải quyết được những khái niệm giá trị cực đại của một biểu thức đại số, cố gắng tìm ra những khái niệm và phương pháp xác định những ''cực đại'' đó.
Điều đó không dẫn al - Tusi đến chỗ đề ra những khái niệm và phương pháp sau này mới được đặt tên như đạo hàm, mà còn buộc ông phải thay đổi cách tiếp cận. Ông phát hiện ra rằng, cần phải sử dụng những thể thức cục bộ, trong khi những người đi trước ông chỉ xem xét những đặc tính chung của những sự vật nghiên cứu. Tất cả những kết quả ấy rõ ràng là quan trọng và thường được gán cho những nhà toán học sau al - Tusi mấy Thế kỷ.
Đó là những nét chính của sự biện chứng giữa đại số và hình học. Để cho bức tranh được đầy đủ, cần nói đến hai trở ngại đã làm chậm bước tiến của các môn toán học mới này. Người ta ngại dùng các số âm với tư cách là số âm vào thời chúng chưa được xác định, và có những thiếu sót trong cách ghi bằng ký hiệu: Cả hai vấn đề này đều được các nhà toán học đời sau quan tâm.
