Nội dung

DAO ĐỘNG ĐIỀU HOÀ

Để làm ví dụ ta xét dao động của con lắc lò xo. Đó là một vật khối lượng m gắn liền với chiếc lò xo  có độ cứng k. Để đơn giản ta giả thiết sức cản đối với chuyển động bằng không.

Lò xo khi chưa biến dạng không tác động lên vật và vật nằm trong trạng thái cân bằng. Khi dịch chuyển nó khỏi vị trí này một cự ly thì lò xo giãn ra (hay co lại), và theo định luật Hooke, vật chịu tác động của lực đàn hồi làm nó quay về vị trí cân bằng. Theo định luật thứ hai của Newton

       (1)

trong đó  là gia tốc của vật, tức là đạo hàm bậc hai của tọa độ theo thời gian (dấu chấm trên ký hiệu là phép lấy đạo hàm theo thời gian). Đưa ký hiệu  vào biểu thức (1) ta sẽ thu được phương trình dao động điều hòa:

        (2)

Ví dụ thứ hai là chuyển động của chất điểm treo bằng một sợi chỉ không trọng lượng và không co giãn có chiều dài l trong trọng trường. Một hệ thống như vậy gọi là con lắc toán học.

Sự chuyển động của con lắc vật lý phụ thuộc không chỉ vào khối lượng mà còn vào kích thước và dạng của vật treo, cũng như vào độ dài và khối lượng của sợi chỉ dùng để treo vật.

Rađian (từ tiếng Latinh radius là ''tia'', ''bán kính'') là đơn vị đo góc phẳng; 1 rad là một góc ở tâm tương ứng với cung có chiều dài bằng bán kính của đường tròn, 1 rad = 57⁰17^’44,8^’’.

Khi sợi chỉ có vị trí thẳng đứng thì trọng lực  bù trừ với lực căng  của sợi chỉ và điểm (vật) khối lượng m nằm trong trạng thái cân bằng. Nếu làm lệch vật rồi thả nó ra sẽ xuất hiện các dao động. Vật sẽ chuyển động theo cung của đường tròn với vận tốc cực đại tại vị trí cân bằng và bằng không ở các điểm cuối. Gia tốc hướng tâm là do lực căng của sợi chỉ, còn sự biến đổi của vận tốc (gia tốc tiếp tuyến) được xác định bởi hình chiếu của hợp lực lên tiếp tuyến của đường tròn. Thành phần này bằng mg.sinα, vì lực căng T của sợi chỉ vuông góc với đường tiếp tuyến.

Độ dịch chuyển vật từ vị trí cân bằng theo cung S của đường tròn tỷ lệ với góc lệch α (đo bằng rađian): S = lα, trong đó lα là bán kính của quỹ đạo tròn. Do đó gia tốc tiếp tuyến

a = d²S/dt² = ld²α/dt² = l

và phương trình chuyển động (định luật thứ hai của Newton) có dạng:

                   (4)

Hay                                                                   (5)

Nếu độ lệch của sợi chỉ khỏi đường thẳng đứng khi dao động không quá 7⁰ thì , và góc  đo bằng rađian sai khác nhau dưới 0,5%. Điều đó có nghĩa là phương trình (5) đối với những dao động bé của con lắc có thể được đơn giản hóa bằng cách thay bằng α. Kết quả ta có           

                   (6)

tức là ta có phương trình dao động điều hoà (2) được dẫn ra đối với quả dọi (con lắc) treo vào lò xo, chỉ có điều hệ số  ở đây thì khác nhau. Nghiệm của các phương trình (2) và (6) phải là hàm mà đạo hàm bậc hai của nó phải trùng với hàm ban đầu với dấu ngược lại. Điều kiện này được các hàm sin và cos thỏa mãn; chúng chuyển qua nhau khi đối số tăng giảm lượng