SỰ PHÁT TRIỂN CỦA LÝ THUYẾT HẤP DẪN
VÀ CÁC VẤN ĐỀ MỚI
Lý thuyết tương đối rộng của Einstein làm cho mọi người phải kinh ngạc vì sự hoàn mỹ của nó. Lý thuyết này là mẫu mực của một lý thuyết vật lý. Vào những năm 30 của thế kỷ XX nhà lý thuyết người Anh Arthur Stanley Eddington (1882-1944), một người am hiểu sâu sắc lý thuyết tương đối và là người đầu tiên tuyên truyền nó, đã nhìn thấy trong ý tưởng hình học vật lý của Einstein một phương pháp để nhận thức được nhịp điệu của Vũ trụ. Xuất hiện một viễn cảnh vật lý học biến thành một ngành khoa học lý thuyết, độc lập thoát ly các tiền đề thực nghiệm. Người ta có thể hiểu được cấu tạo của Vũ trụ thuần tuý bằng toán học và sử dụng những quan sát chỉ để kiểm tra những kết luận trừu tượng. Eddington đã nói về sự biến đổi của vật lý học trong thời gian nó được hình thành ở thế kỷ XVII - XX như sau: ''Trước kia người ta tưởng tượng Chúa Trời là một kỹ sư, còn bây giờ thì lại là nhà toán học''. Tuy nhiên, không lâu sau đó người ta đã thấy được rằng lý thuyết này không phải trong mọi trường hợp đều cho ta những lời giải có thể chấp nhận được. Ngoài ra người ta còn phát hiện thấy một số kết luận của nó còn cần phải xem xét lại từ quan điểm của vật lý học.
Thật lạ lùng là trong lý thuyết tương đối rộng cho đến ngày nay vấn đề trung tâm của nó, như thường đòi hỏi đối với một lý thuyết vật lý bất kỳ, vẫn chưa được giải quyết: đó là sự thể hiện các định luật bảo toàn năng lượng và xung lượng. Và người ta thậm chí còn chưa tìm được biểu thức mô tả đúng sự phân bố năng lượng và xung lượng của trường hấp dẫn trong không gian và theo thời gian. Năm 1916 tự Einstein đã lần đầu thử giải quyết vấn đề này, ông lại một lần nữa cố làm điều đó vào năm 1918 khi tính năng lượng các sóng hấp dẫn. Kết quả mà Einstein đưa ra đã không được sự tán thành của Schrodinger và Lorentz cũng như của một số nhà toán học nổi tiếng khác (Felix Klein và Tullio Levi - Civita). Vấn đề là ở chỗ biểu thức năng lượng của trường hấp dẫn trong một thể tích kín mà Einstein tìm ra bằng cách biến đổi các tọa độ, có thể bằng không cũng như có thể tiến đến vô hạn.
Về sau này nhiều cách giải quyết vấn đề năng lượng của trường hấp dẫn cũng không thỏa đáng. Trong khuôn khổ hình học không – thời gian Riemann thì cho đến nay vẫn chưa có được lời giải. Do đó nhà vật lý lý thuyết người Đan Mạch Christian Muller (1904 - 1980) đã gọi tình huống này là sự khủng hoảng của lý thuyết hấp dẫn. Để ra khỏi sự khủng hoảng này người ta chỉ có một cách là làm tăng độ chính xác cấu trúc hình học của không - thời gian. Và nhà vật lý người Nga Boris Nikolayevich Frolov (sinh năm 1939) đã tìm ra được biểu thức cho năng lượng toàn phần của trường hấp dẫn, song chỉ đối với lý thuyết hấp dẫn có độ xoắn.
Và định lý “về sự tồn tại không tránh khỏi của các điểm kỳ dị” trong lý thuyết tương đối rộng của Einstein do nhà toán học nổi tiếng người Anh Roger Penrose (sinh năm 1931) chứng minh năm 1965 là ''điểm nhạy cảm'' khác của lý thuyết tương đối rộng. Ý nghĩa định lý đó là ở chỗ nếu không gian Riemonn đồng nhất được choán đầy bởi vật chất thì trong tương lai vật chất đó nhất định sẽ co lại (suy sụp): kết quả là trong không - thời gian sẽ xuất hiện điểm kỳ dị mà tại đó mật độ của vật chất bằng vô hạn. Năm 1969 Penrose cùng với nhà vật lý người Anh Stephen Hawking đã chứng minh một định lý còn mạnh hơn về những điểm kỳ dị. Nói riêng, từ định lý này có thể suy ra rằng tính kỳ dị nhất thiết đã tồn tại trong quá khứ.
Nhưng lý thuyết vật lý hiện thực không được phép sinh ra những kỳ dị: tại những miền rất gần các điểm kỳ dị thì tất cả các định luật của vật lý đều không còn được thỏa mãn! Lý thuyết hấp dẫn Einstein đã không xử lý được vấn đề lượng tử hóa trường hấp dẫn. Sự cần thiết phải lượng tử hóa đối với trường hấp dẫn xuất phát từ một số lý do. Ở đây ta sẽ chỉ ra những lý do đáng chú ý hơn cả. Nếu có những sóng hấp dẫn mang năng lượng, thì như ở tất cả các sóng khác, năng lượng này phải bị bức xạ hay hấp thụ bằng từng lượng nhỏ (lượng tử) mà người ta gọi là những graviton. Tiếp đó, nếu các hạt lượng tử sẽ tương tác với trường hấp dẫn cổ điển thuần túy, thì sẽ xuất hiện khả năng có tính nguyên tắc xác định một cách chính xác những tọa độ và xung lượng của các hạt này, và như vậy là mâu thuẫn với hệ thức bất định Heisenberg. Tóm lại sự mô tả lượng tử vật chất kéo theo nó sự lượng tử hóa trường hấp dẫn. Và cuối cùng, để hiểu được những tính chất của vật chất và trường hấp dẫn ở những miền gần các điểm kỳ dị, ví dụ trong quá trình co (suy sụp) hấp dẫn hay tại thời điểm sinh ra Vũ trụ từ trạng thái kỳ dị, thì cũng cần lý thuyết lượng tử. Ở đại đa số các quá trình trong Vũ trụ thì các hiệu ứng hấp dẫn yếu vô cùng, do đó không có điều gì ngăn cản người ta sử dụng lý thuyết phi lượng tử Einstein. Song các hiệu ứng này lại có thể rất đáng kể ở gần những điểm đặc biệt - những điểm kỳ dị của trường hấp dẫn, ở nơi mà độ cong của không - thời gian lớn hơn cả. Trong những trường hợp này thì không thể áp dụng lý thuyết tương đối rộng còn lý thuyết lượng tử hấp dẫn mô tả cả những trạng thái kỳ dị thì lại chưa được xây dựng.
Những quy mô kích thước mà ở đó các kỳ dị phải được thể hiện - đó là những kích thước của thế giới vi mô: theo những sự đánh giá khác nhau thì kích thước này khoảng 10-33 cm (''độ dài Planck''). Như vậy nghĩa là, lý thuyết thống nhất có thể gắn liền những tính chất của các hạt cơ bản với những tính chất của Vũ trụ - một đối tượng lớn nhất. Đó là vật lý vi mô Vũ trụ - một ngành khoa học liên kết Vũ trụ học với vật lý về thế giới vi mô. Và như vậy thì ước mơ của Einstein về một bức tranh thống nhất của Vũ trụ mới được thực hiện.
Năm 1916 khi thu được công thức cho cường độ bức xạ các sóng hấp dẫn, Einstein đã viết: ''... nguyên tử, do có sự chuyển động nội tại của các điện tử, phải bức xạ không chỉ năng lượng điện từ mà cả năng lượng hấp dẫn mặc dù với lượng vô cùng nhỏ. Vì trong thiên nhiên không thể có điều gì tương tự cho nên có lẽ lý thuyết lượng tử phải làm thay đổi không chỉ điện động lực học Maxwell mà cả lý thuyết hấp dẫn mới''.
Người ta đã thử áp dụng công cụ lý thuyết lượng tử đối với trường hấp dẫn ngay sau khi tìm ra các phương pháp lý thuyết trường lượng tử. Nhà vật lý học người Leningrad Matvei Petrovich Bronshtein (1906 - 1938) là người đầu tiên đã tiến hành lượng tử hóa trường hấp dẫn (thật ra là trường hấp dẫn khá yếu) từ năm 1935. Khi người ta bắt đầu xây dựng lý thuyết lượng tử trường hấp dẫn mạnh với sự lưu ý đến tính phi tuyến của các phương trình Einstein, thì mới vỡ lẽ ra rằng lý thuyết hấp dẫn Einstein chạm phải một loạt những khó khăn không thể vượt qua. Ở đây ta sẽ chỉ dừng lại ở vấn đề về tính tái chuẩn hóa.
Như đã biết (xem chương ''Mô hình chuẩn và ngoài phạm vi của nó'') để tính các giá trị khối lượng, điện tích và một số tham số khác của các hạt lượng tử thì cần phải chú ý đến sự tương tác của chúng với chân không vật lý có bản chất lượng tử. Nếu những trị số của các tham số mà ta thu được bằng lý thuyết, là hữu hạn, tức là trùng với những giá trị thu được bằng thực nghiệm, thì lý thuyết vật lý mà nhờ nó người ta thực hiện những tính toán tương ứng, được gọi là lý thuyết tái chuẩn hóa được (ví dụ điện động lực học lượng tử). Nhưng khi các giá trị tham số mà ta tính được lại bằng vô hạn, thì lý thuyết đó là lý thuyết không tái chuẩn hóa được.
Năm 1972 nhà vật lý học người Hà Lan G.'t Hooft (sinh năm 1946) và thày hướng dẫn khoa học của ông là M.Veltman (sinh năm 1931) đã chứng minh một cách chặt chẽ rằng lý thuyết hấp dẫn Einstein không tái chuẩn hóa được. Vậy xây dựng lý thuyết hấp dẫn tái chuẩn hóa được bằng cách nào? Một trong những cách đó là chuyển sang không - thời gian có những cấu trúc hình học phụ. Ví dụ, đó là một số phương án của lý thuyết hấp dẫn với độ xoắn và với cấu trúc hình học còn phức tạp hơn. Song những phương án này cũng có những nhược điểm. Cho nên vấn đề xây dựng lý thuyết hấp dẫn lượng tử cho đến nay vẫn đang phải chờ đợi được giải quyết.
Cuối cùng ta chỉ ra thêm một đặc điểm nữa của lý thuyết hấp dẫn Einstein. Trong ba loại tương tác vật lý mà theo quan niệm ngày nay, là cơ sở của cấu trúc vật chất thì hai tương tác điện yếu và mạnh có bản chất định cỡ (xem phần ''Các trường định cỡ'').
Năm 1918 quyển sách của nhà toán học người Đức Hermann Weyl ''Không gian, thời gian, vật chất'' được xuất bản. Trong quyển sách này tác giả đã trình bày lý thuyết hình học hóa điện từ học dựa trên cơ sở của tính bất biến tỷ lệ xích hay tính bất biến định cỡ - tính độc lập của các định luật vật lý đối với việc chọn tỷ lệ xích đo lường.
Để hiểu được ý tưởng ban đầu của tính bất biến định cỡ thì ta hãy nhớ lại rằng ở thời Newton thì fut và insơ là đơn vị đo độ dài của Anh, còn ở Nga thì cho đến đầu thế kỷ XX đơn vị đo độ dài là sagien và acsin. Điều này không ảnh hưởng gì đến các định luật vật lý. Ta có thể tưởng tượng một nền văn minh nào đó ở một thiên hà xa xôi; nơi có hệ đơn vị thời gian độ dài và khối lượng của họ, song các định luật vật lý vẫn trùng với những định luật trên Trái Đất. Điều đó là có thể khi những định luật vật lý bất biến đối với cách chọn những đơn vị đo lường. Và vì nền văn minh ta chọn ngẫu nhiên cho nên có thể chọn hệ đơn vị ở mỗi điểm không - thời gian một cách tùy ý.
Trong lý thuyết tương đối rộng những định luật vật lý bất biến đối với cách chọn hệ quy chiếu. Song trong bản thân hệ quy chiếu để đo các đại lượng thì nhất thiết cần đến những dụng cụ và những thiết bị đã được phân độ hay định cỡ một cách thống nhất nào đó. Những định luật vật lý không được phụ thuộc vào cách chọn phương pháp phân độ hay tỷ lệ nhưng trong lý thuyết Einstein thì lại không như vậy; lý thuyết này không bất biến đối với tỷ lệ. Để cải thiện tình huống Weyl đã xem xét lại hình học của lý thuyết tương đối rộng và bên cạnh metric ông đã đưa vào thêm một đại lượng độc lập với metric - đó là liên thông, và trong trường hợp này nó được xác định bởi vectơ cơ bản Weyl.
Người ta đã thu được những phương trình động lực học đối với vectơ Weyl hoàn toàn trùng với những phương trình Maxwell, và điều này cho phép Weyl xem vectơ này như thế điện từ.
Vậy là nhờ những đại lượng hình học - metric và vectơ Weyl - người ta đã mô tả được tất cả các trường vật lý đã biết thời bấy giờ.
Đồng thời lý thuyết thống nhất hấp dẫn và điện từ học do Weyl đưa ra đã tiên đoán một loạt những hiện tượng không quan sát được. Ví dụ, một chiếc thước kẻ chuyển động dọc theo đường xích đạo Trái Đất thì cứ sau mỗi vòng theo hướng tây thì nó dài thêm ra, mà theo hướng đông thì nó lại rút ngắn lại một đại lượng tỷ lệ với cường độ từ trường của hành tinh. Những chiếc máy bay cũng phải trải qua hiệu ứng này. Độ dài của một chiếc thước kẻ chuẩn cũng như nhịp độ của những chiếc đồng hồ chuẩn trong lý thuyết Weyll phụ thuộc vào tiền sử sự chuyển động của chúng. Trong thực tế người ta không quan sát thấy những hiệu ứng như vậy. Mặc dù vậy, lý thuyết Weyl đã mở ra trước vật lý học những viễn cảnh mới mà phần nào đó đã trở thành hiện thực trong lý thuyết các trường định cỡ hiện đại.
Phương án khác của lý thuyết trường thống nhất mô tả hấp dẫn và điện từ học trên cơ sở hình học tổng quát được nhà vật lý người Đức Theodore Kaluza (1885 - 1954) đưa ra vào năm 1921. Lý thuyết của ông mô tả thực tại vật lý không phải trong không gian bốn chiều mà là trong không gian năm chiều và thế của trường điện từ xác định các thành phần của tenxơ metric, ứng với chiều thứ năm. Những phương trình Einstein khi xác định tenxơ metric trong không gian năm chiều, thì đối với những thành phần này sẽ trùng với các phương trình Maxwell. Còn hình chiếu của những phương trình chuyển động của hạt tích điện lên chiều thứ năm thì cho ta định luật bảo toàn điện tích. Như vậy trong lý thuyết Kaluza thì trường điện từ được lồng ghép vào hình học của không - thời gian năm chiều.
Nhưng vì sao trong cuộc sống bình thường ta không cảm nhận được chiều thứ năm này? Hãy tưởng tượng chúng ta là những nhân vật trong truyện cổ tích ''Người đẹp ngủ'' trong lâu đài bị yểm của Charles Perrault. Trong lâu đài này theo ý của mụ phù thuỷ, tất cả phải chìm trong giấc ngủ. Mọi vật đều bất động, không có một ngọn gió nhỏ nào. Trong tình huống như vậy người ta không thấy thời gian trôi, vì người ta chỉ thấy được thời gian qua sự biến đổi của các biến cố, mà các biến cố ở đây lại không xảy ra. Có vẻ như chỉ còn những tọa độ không gian, còn toạ độ thời gian đã biến mất. Tương tự như vậy trong trường hợp không gian năm chiều của lý thuyết Kaluza, người quan sát không nhận thấy tọa độ thứ năm nếu vị trí mọi vật ở xung quanh không phụ thuộc vào tọa độ thứ năm này.
Kaluza chỉ xét những trường yếu và vận tốc nhỏ. Năm 1926 nhà vật lý người Thụy Điển Oskar Klein đã loại bỏ được những hạn chế này và đã chỉ ra rằng lý thuyết ấy đúng đối với trường bất kỳ và vận tốc bất kỳ. Ông còn đưa ra giả thiết rằng không gian cuộn theo chiều thứ năm thành vòng tròn bán kính rất nhỏ l. Chính độ nhỏ của l giải thích vì sao trong không gian vật lý bốn chiều không thấy được chiều thứ năm. Theo Klein, tính gián đoạn của diện tích liên quan đến tính tuần hoàn của sự chuyển động theo chiều thứ năm. Và metric của không gian phụ thuộc vào độ lớn của điện tích. Vì vậy, mỗi hạt tích điện đều liên quan đến thế giới riêng năm chiều của mình.
Nhược điểm chính của lý thuyết Kaluza - Klein là sự thiếu vắng một nguyên lý cơ bản tương tự như nguyên lý tương đương Einstein. Rồi việc tách tọa độ thứ năm có tính tuần hoàn và có kích thước vô cùng nhỏ so với những tọa độ khác có thể kéo dài đến vô tận cũng không thể hiểu được. Và sau khi người ta phát hiện ra các tương tác mạnh và yếu thì trở nên rõ ràng rằng hấp dẫn và điện từ không phải là tất cả các lực trong thiên nhiên.
Ngày nay sự quan tâm đến những lý thuyết thống nhất Weyl và Kaluza - Klein được tái hiện lại trên một cơ sở mới. Vecto Weyl người ta không gắn với trường điện từ mà gắn với trường đilaton (đilaton gốc từ tiếng Latinh dilatino nghĩa là nở, mở rộng) giả định. Trong lý thuyết vật lý hiện đại trường đilaton xuất hiện như trường hợp riêng của lý thuyết dây lượng tử.
Trường đilation khác hẳn với trường điện từ: bán kính tác động của nó hữu hạn và rất nhỏ, nghĩa là trường này là trường tác dụng gần, còn các lượng tử của nó có khối lượng tĩnh khác không (và khá lớn). Do đó ảnh hưởng của trường đilaton có thể đáng kể chỉ ở kích thước cấu trúc các hạt cơ bản hay ở giai đoạn sớm của sự phát triển Vũ trụ.
Trong vật lý học hiện đại những lý thuyết như lý thuyết Kaluza - Klein, được xem xét trong những không gian có số chiều lớn hơn. Ví dụ những tương tác điện yếu và mạnh có thể kết hợp trong khuôn khổ lý thuyết đối với không gian có số chiều không ít hơn mười.
Tất cả những điều đó đã trở nên rõ ràng chỉ sau khi xây dựng được lý thuyết các trường định cỡ và sau khi tìm ra nguyên lý siêu đối xứng (xem mục phụ ''Siêu đối xứng và siêu dây'').
STEPHEN WILLIAM HAWKING
Nhân vật huyền thoại sống của vật lý hiện đại Stephen William Hawking (sinh năm 1942) đã gắn liền lý thuyết hấp dẫn (lý thuyết tương đối rộng), vật lý lượng tử và nhiệt động lực học làm một.
Sau khi tốt nghiệp Trường Đại học Tổng hợp Oxford, Hawking đã bảo vệ luận án tiến sĩ (Ph.D. - học vị cao nhất ở các Trường Đại học Tổng hợp Phương Tây) tại Trường Đại học Tổng hợp Cambridge (1965). Từ đó đến nay cuộc đời của ông gắn liền với Cambridge. Năm 1979 Hawking được giữ chức vụ giáo sư toán học danh dự của bộ môn mang tên Lucas thuộc Trường Đại học Tổng hợp này; chức vụ này trước đây chỉ có Isaac Newton và Paul Dirac đảm nhiệm.
Hawking đã làm cho Vũ trụ học có nội dung vật lý hiện thực bằng cách hiện đại hóa nó và đưa vào hệ thống những khái niệm về thế giới xung quanh. Nhà bác học đã chú ý đến những điểm kỳ dị - những điểm của không - thời gian mà ở đó các đại lượng vật lý (mật độ vật chất năng lượng) bằng vô hạn. Bằng những phương pháp tự mình tìm ra Hawking cùng với H. Ellis đã chỉ ra rằng (vào các năm 1966-1967) các điểm kỳ dị vốn có sẵn đối với một mô hình Vũ trụ bất kỳ phù hợp với lý thuyết tương đối rộng. Nắm vững các phương pháp của vật lý toán hiện đại, Hawking và Roger Penrose đã chứng minh định lý về các điểm kỳ dị (định lý Hawking - Penrose). Định lý này theo nhận định chung, đã trở thành một kết quả có ý nghĩa to lớn nhất trong lĩnh vực này. Một loạt các công trình cơ bản của Hawking đã nói về các lỗ đen và giai đoạn đầu quá trình tiến hóa của Vũ trụ. Theo Hawking thì các lỗ đen có khả năng ''bốc hơi''. Năm 1974 nhà bác học đưa ra cơ chế quá trình ''bốc hơi'': ở gần mặt của lỗ đen sinh ra các cặp hạt - phản hạt (hệ thức bất định Heisenberg cho thấy có khả năng này). Một trong các hạt tạo thành cặp rơi vào lỗ đen, hạt thứ hai bay ra khỏi lỗ và mang theo năng lượng. Những hạt bay ra đôi khi người ta gọi là bức xạ Hawking. Sự tồn tại bức xạ như vậy có nghĩa là lỗ đen bất kỳ có một nhiệt độ đặc trưng nào đó. Như vậy, lý thuyết hấp dẫn, vật lý lượng tử và nhiệt động lực học đã gắn liền lại với nhau làm một.
Những công trình của Hawking về vật lý các lỗ đen cho phép loại bỏ hàng loạt những cấu trúc không - thời gian, mà trong đó các đối tượng như vậy không thể xuất hiện, làm rõ những giới hạn đối với các định luật nhập hai lỗ đen. Một cuộc tranh luận giữa Stephen Hawking và Roger Penrose (năm 1994) tại Viện các khoa học toán học Isaac Newton (Cambridge) về các vấn đề cấu trúc của không - thời gian đã thu hút chú ý đặc biệt của giới khoa học. Mỗi người đọc ba bản tham luận và sau đó là một cuộc trao đổi sôi nổi. Tất cả những điều đó làm người ta nhớ lại cuộc tranh luận giữa Niels Bohr và Albert Einstein, khi Einstein không chấp nhận cơ học lượng tử là lý thuyết ''hoàn hảo'' và phản đối cách lý giải của trường phái Copenhagen mà Bohr bảo vệ. Song những vấn đề Penrose và Hawking tranh luận phức tạp hơn. Cuộc tranh luận mang tính chất triết học rộng lớn. Quyển sách hấp dẫn ''Lược sử thời gian'' là một vinh quang của cây bút Stephen Hawking.
Quyển sách này bốn năm liền đứng đầu danh sách những quyển sách bán chạy nhất do báo London ''Sunday times'' bình chọn - đó là một kỷ lục tuyệt đối đối với mọi cuốn sách trong lịch sử loài người.
Cuộc đời của Stephen Hawking, con người làm giàu cho nền khoa học bằng những ý tưởng tuyệt diệu và những phương pháp tuyệt diệu, - là một chiến công lớn lao của con người, là sự chiến thắng của tinh thần đối với thể xác ốm yếu. Đọc những công trình uyên bác của ông, ta không thể tưởng tượng rằng tác giả của chúng là một người phải luôn gắn chặt với chiếc xe đẩy và trao đổi với thế giới bên ngoài nhờ máy tổng hợp tiếng nói. Một nghị lực phi thường, tình yêu đời và sự say mê khoa học đã làm cho nhà bác học chiến thắng bệnh tật và luôn luôn là một thành viên tích cực của đội ngũ quang vinh những người sáng lập nền khoa học hiện đại.
LỰC - MỘT ĐẠI LƯỢNG KHÔNG THỨ NGUYÊN
Trong lý thuyết tương đối rộng một đại lượng duy nhất đo trực tiếp được - đó là khoảng thời gian riêng của vật thể 
- nhờ những chiếc đồng hồ gắn liền với vật thể. Khoảng và thời gian riêng liên hệ với nhau bởi công thức 
. Do đó trong hệ đơn vị mà ở đó vận tốc ánh sáng c = 1, thì không có sự khác biệt giữa các đơn vị thời gian và độ dài. Vậy thì tại sao lại không đo thời gian bằng mét? Và nếu chấp nhận cả hằng số hấp dẫn G = 1, thì cả khối lượng, năng lượng và nhiều đại lượng vật lý khác cũng sẽ có thứ nguyên của độ dài. Và thật lý thú vì trong hệ đơn vị ''hấp dẫn'' như vậy do Gamow, Landau và Ivanenko đưa ra năm 1927 thì chính lực là đại lượng không thứ nguyên.
Giá trị một số các đại lượng vật lý trong hệ đơn vị “hấp dẫn”.
1 giây............................................................................................ 2,998.198m
1kg.............................................................................................. 7,423.10-28m
Hằng số Planck 
......................................................................... 1,64.10-69m
Khối lượng điện tử (electron)....................................................... 6,769.10-58m
Điện tích điện tử (electron)............................................................. 1,38.10-36m
Khối lượng trái đất........................................................................ 4,438.10-3m
Khối lượng Thiên Hà của chúng ta (Ngân Hà)................................... 1,7.1014m
Tuổi của vũ trụ.................................................................................. 1,3.1026m
Lực tương tác trái đất và mặt trời.................................................... 2,927.10-22
