SỰ CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƯỜNG HẤP DẪN
Trọng lực là gì? Tại sao các vật thể trên Trái Đất lại rơi xuống dưới? Và tại sao các hành tinh không rơi vào Mặt Trời mà lại chuyển động xung quanh nó?
Theo Einstein, vật thể chuyển động không phải dưới tác động của của các vật thể khác, mà là dưới tác động của không gian: chính không gian ''chỉ'' cho vật thể phải chuyển động như thế nào. Và khi đó không cần phải nói đến trọng lực mà vật thể phải chịu từ phía các vật thể khác.
Con người cảm nhận thấy trọng lượng của mình khi còn đứng trên mặt đất, trên một nền cứng. Anh ta cảm thấy như có một lực (trọng lực) tác động lên anh ta từ phía Trái Đất. Nhưng điều đó là sai: chính lực tiếp xúc tác động - đó là phản lực của điểm tựa từ phía mặt đất; phản lực này được xem như trọng lượng. Ta hãy tưởng tượng là không có điểm tựa - Trái Đất biến mất, vật thể sẽ bay xuống dưới vào vực thẳm. Trọng lượng của nó bỗng nhiên biến mất vì không có gì đối trọng với nó nữa. Vậy trọng lực của Trái Đất biến đi đâu mất? Nó không biến đi đâu cả vì nó chưa bao giờ tồn tại.
Giả sử nhà du hành vũ trụ ngồi trong con tàu Vũ trụ hay bước ra khỏi con tàu Anh ta có cảm thấy lực hấp dẫn nào không? Không hề. Lực này có tác động lên chính con tàu không? Cũng không. Các nhà vật lý nói rằng cả nhà du hành Vũ trụ, có con tàu đều nằm trong hệ quy chiếu quán tính định xứ: trong hệ quy chiếu này trọng lực bằng không. Nhưng không ở đâu trường - độ cong của không - thời gian lại bằng không: độ cong của không - thời gian không có đặc tính của lực. Lực được biểu thị qua các đạo hàm bậc một của thế của trường, còn độ cong được biểu thị không chỉ qua các đạo hàm bậc một, mà còn qua các đạo hàm bậc hai của các thế hấp dẫn - các hệ số metric.
Còn nói về các hành tinh thì chúng chuyển động trong trường hấp dẫn của Mặt Trời không có điểm tựa nào cả - chúng luôn luôn như ''rơi'' tự do về phía Mặt Trời. Thế nhưng tại sao chúng lại không rơi thẳng vào Mặt Trời? Điều gì làm cho chúng chuyển động quanh Mặt Trời theo những quỹ đạo cong kín?
Một trong những kết quả đầu tiên của lý thuyết tương đối rộng là sự chứng minh rằng một vật thể thử tự do (có khối lượng đủ nhỏ và không tạo ra trường hấp dẫn riêng) luôn luôn chuyển động trong trường của vật thể nặng theo các đường đoản trình - các đường cong có độ dài nhỏ nhất. Trong một trường hấp dẫn cho trước với những điều kiện ban đầu như nhau, những vật thể như vậy sẽ chuyển động trên cùng những đường cong đoản trình nghĩa là chuyển động hoàn toàn như nhau, không hề phụ thuộc vào khối lượng và thành phần của chúng. Do đó sự biến thiên của vận tốc của các vật thể bất kỳ (gia tốc của chúng) trong trường hấp dẫn này là như nhau. Điều đó có nghĩa là khối lượng hấp dẫn và khối lượng quán tính là như nhau (đồng nhất) và tính chất này của các khối lượng là cơ sở để xây dựng lý thuyết.
Khi không có hấp dẫn, trong không - thời gian của lý thuyết tương đối hẹp sự chuyển động của một vật thể tự do theo quán tính được mô tả bởi đường thẳng. Đường thẳng là đường có chiều dài ngắn nhất trong không gian phẳng, nói cách khác đó chính là đường đoản trình. Trong trường hấp dẫn những vật thể thử (ta có thể bỏ qua ảnh hưởng của chúng) cũng chuyển động theo các đường đoản trình trong không gian, mà ở đây là không gian cong, do đó các đường đoản trình ở đây không thẳng mà cong. Tính toán cho thấy rằng trong trường hấp dẫn của một vật ở tâm thì những đường cong này khép kín thành dạng đường cong elip; Các hành tinh thực tế không hề ảnh hưởng gì đến Mặt Trời và chúng chuyển động theo các đường cong elip.
Các vật thể mà không được xem như các vật thể thử thì chuyển động không theo các đường đoản trình, tuy vậy các phương trình chuyển động của chúng có thể suy ra từ các phương trình hấp dẫn. Điều đó đã được chứng minh lần đầu tiên bởi Einstein cùng với nhà bác học người Ba Lan Leopold Infeld (cho các khối lượng có tính chất điểm) và độc lập với họ (cho các vật thể có kích thước hữu hạn) bởi nhà vật lý lý thuyết Liên Xô Vladimir Aleksandrovich Fok trong những năm 1938 - 1939.
EINSTEIN VÀ HILBERT
Vào năm 1915 khi Einstein tìm ra các phương trình hấp dẫn, thì một nhà bác học vĩ đại khác, nhà toán học người Đức David Hilbert cũng đang say mê cạnh tranh với ông trong việc xây dựng lý thuyết hấp dẫn trong khuôn khổ chương trình do Einstein đề ra. Khi đó Hilbert đề ra cho mình bài toán suy dẫn tất cả các định luật của vật lý dựa vào một số các tiên đề nền tảng. Việc tìm kiếm các phương trình của trường hấp dẫn đối với Hilbert chỉ là một phần công việc mà ông đặt ra. Thật lạ lùng là ông đã tìm ra các phương trình hấp dẫn bằng lý thuyết thuần túy khi dựa trên những phương pháp của hình học Riemann mới nhất vào thời đó. Thực tế là Hilbert và Einstein đã tìm ra những phương trình hấp dẫn gần như đồng thời - chỉ cách nhau mười ngày! Mặc dù Einstein đã tìm ra dạng cuối cùng của các phương trình muộn hơn Hilbert, nhưng ở vế phải của phương trình Einstein là tenxơ năng - xung lượng của vật chất bất kỳ, trong khi đó ở vế phải của phương trình Hilbert chỉ là tenxơ năng - xung lượng của trường điện từ. Một trong những nhà vật lý lý thuyết lớn nhất của Liên Xô, Vladimir Aleksandrovich Fok, đã gọi việc tìm thấy các phương trình hấp dẫn là ''thành tựu vĩ đại nhất của trí tuệ loài người''. Để tôn trọng lịch sử người ta thường gọi các phương trình hấp dẫn 
- là các phương trình Hibert - Eistein.
