KHÔNG - THỜI GIAN BỊ UỐN CONG VÀ LỰC HẤP DẪN
Phương pháp Gauss để mô tả các mặt hai chiều có thể được áp dụng trực tiếp cho các mặt ba chiều và nói chung cho các siêu mặt n chiều. Điều đó do Riemann, học trò của Gauss, chỉ ra, ông là người đã xây dựng môn hình học mà Einstein đã áp dụng thành công vào vật lý học.
Không thời gian trong lý thuyết tương đối hẹp được cho bởi các tọa độ x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z; khoảng được xác định bởi công thức:
(1)
trong đó t là thời gian, c là vận tốc ánh sáng còn x, y, z là các tọa độ Descartes bình thường của không gian Euclid phẳng. Hấp dẫn làm biến dạng hình học không - thời gian bằng cách uốn cong nó, tức là để mô tả hấp dẫn cần có một không - thời gian bốn chiều uốn cong. Trong không - thời gian này người ta không sử dụng tọa độ Descartes, mà sử dụng tọa độ Gauss, và những tọa độ này không còn có ý nghĩa vật lý bình thường là xác định vị trí các điểm và trị số thời gian. Ứng với mỗi điểm (biến cố) của không - thời gian có bốn số x0, x1, x2. Chúng không có ý nghĩa vật lý trực tiếp mà chỉ được dùng để đánh số các điểm. Ứng với các điểm P và P' bên cạnh nhau là những tọa độ Gauss gần nhau về trị số, còn bình phương của khoảng giữa P và P' được biểu thị bằng công thức:
(2)
trong đó các hệ số metric g00, g01,... g33 phụ thuộc vào điểm mà ta xét. Vậy không gian bốn chiều này là không đồng nhất: tính chất của nó thay đổi từ điểm này tới điểm kia.
Theo Riemann thì hình học các không gian cong không được đưa ra bằng các tiên đề như hình học Euclid, mà chỉ bằng phương pháp xác định khoảng cách giữa các điểm gần nhau, nói cách khác bằng yếu tố ds. Các hệ số metric thay đổi thì ds cũng thay đổi, tức là hình học thay đổi và kết quả chúng ta có không gian cong. Nhưng hiệu ứng này có thể có liên quan với hấp dẫn: các vật thể hút nhau vì không thời gian bị uốn cong.
Như vậy lần đầu tiên người ta thấy được bản chất của trường hấp dẫn đồng thời giải thích được nguyên nhân sự hiện diện khắp nơi của hấp dẫn vũ trụ. Hấp dẫn hiện diện khắp nơi như một tính chất đặc biệt của không - thời gian, là tính cong của nó.
Ví dụ, Trái Đất tạo ra quanh nó không thời gian cong mà ta gọi là trường hấp dẫn. Trường này tác động lên mọi vật và làm cho chúng rơi. Tác động của trường lên các vật giảm khi đi xa khỏi hành tinh. Trên một khoảng cách rất lớn thì trường hấp dẫn này yếu đến mức vật không rơi lên Trái Đất nữa: không - thời gian ở đó cong rất không đáng kể, và người ta có thể xem nó là ''phẳng'' và được mô tả bởi công thức (1) của lý thuyết tương đối hẹp, vì khi đó có thể bỏ qua hấp dẫn và lý thuyết tương đối hẹp lại thể hiện vai trò của nó. Nhưng điều gì làm cho không - thời gian cong? Chỉ những phương trình trường hấp dẫn thiết lập mối quan hệ giũa độ cong của không - thời gian với sự phân bố và chuyển động của các khối lượng mới trả lời được câu hỏi này.
HÌNH HỌC CÁC MẶT CONG, CÁC TỌA ĐỘ
Nếu xét mặt của hình cầu như là một không gian hai chiều, thì để nghiên cứu không gian này tốt hơn, ta nên sử dụng các tọa độ địa lý (vĩ độ và kinh độ trên mặt Trái Đất) thay vào chỗ các tọa độ thẳng của không gian Euclid. Cách làm này do Gauss đưa ra khi giải quyết các vấn đề của môn đo đạc bản đồ. Mặt được xem như là một tập hợp liên tục các điểm và ứng với mỗi điểm có một cặp số - đó là các tọa độ cong u và v.
Bây giờ ta tách ra một phần của mặt cong và vẽ lên một số bất kỳ các đường cong không cắt nhau và ta ký hiệu chúng là u = 1, u = 2, u = 3. Giữa các đường cong u =1 và u =2 tồn tại vô số các đường cong không cắt nhau, ứng với chúng là tất cả những số thực giữa 1 và 2, tức là ta có một hệ thức đường cong u phủ kín mặt.
Ta lại vẽ lên trên cùng mặt này một hệ đường cong khác – đường cong v – phủ kín mắt với những ký hiệu v = 1, v = 2, v = 3. Khi đó ứng với mỗi điểm của mặt có một và chỉ một cặp số u và v; người ta gọi chúng là các tọa độ cong hay tọa độ Gauss. Ví dụ, điểm P có các tọa độ Gauss u =1, v = 3.
Nếu vị trí của điểm P được xác định bởi cặp (u,v) thì vị trí của điểm bên cạnh gần với nó P’ được xác định bởi cặp (u + du; v + dv), trong đó du và dv là những gia số nhỏ của toạ độ được gọi là vi phân. Ở lân cận mỗi điểm thì mặt cong thực tế không khác với mặt phẳng, cho nên khoảng cách giữa P và P’ có thể đo bằng thước kẻ như bình thường. Đó là khoảng ds, và theo Gauss thì nó được xác định theo công thức:
trong đó g11, g12, g22 là những hàm của điểm trên mặt. Chính ds2 xác định hình học ''nội tại” của mặt. Nó khác với hình học ''ngoài”; của không gian ba chiều, nơi mặt đang chiếm một chỗ. Trong không gian Euclid ''ngoài'' này thì khoảng cách giữa các điểm của một được biểu thị bằng công thức đơn giản hơn trong đó x,y, z là các tọa độ Descartes trong không gian, còn g11 = g12 = g22 = 1.
NHỮNG CON KIẾN ''TRẮC ĐỊA VIÊN''.
Ta có thể tưởng tượng không - thời gian cong dưới dạng bề mặt của một quả táo bình thường. Giả sử có một quả táo rụng trong vườn và có những con kiến bò trên quả táo đó. Ta hay quan sát mặt của quả táo qua kính phóng đại. Những con kiến đã chọn đường của chúng như thế nào? Ta hãy vẽ trên quả táo đường cong chuyển động của một con kiến, sau đó ta gọt vỏ quả táo và vuốt thẳng nó ra trên một tấm ván - trên tấm ván đó đường của con kiến bò là đường thẳng như một tia laze. Đó chính là đường đoản trỉnh (ngắn nhất). Những con kiến đã chọn một con đường ngắn nhất, hợp lý nhất để bò trên mặt cong. Một cách cục bộ, trên một vùng nhỏ của mặt quả táo thì các đường đoản trình trùng với các đường thẳng mà ta nhìn rất rõ qua kính phóng đại.
Trên những khoảng cách lớn thì các đường đoản trình sẽ thế nào? Bây giờ ta quan sát hai con kiến xuất phát từ một điểm P trên mặt quả táo theo hai hướng khác nhau. Đường đi của chúng PA1 và PA2 ngẫu nhiên đi qua miền gần cuống của quả táo, nhưng theo hai phía khác nhau của cuống. Mỗi con kiến đều cố gắng bò trên vỏ quả táo theo đường thật thẳng - nó bò dọc theo đường đoản trình của nó. Tuy nhiên do độ cong ở cuống của quả táo nên đường mà hai con kiến ban đầu cắt nhau, sau đó lại tách nhau ra.
Những con kiến chuyển động như là bị cái gì đó hút đến cuống quả táo, và người ta sẵn sàng tin vào lực Newton tác động trên khoảng cách. Nhưng quỹ đạo của chúng cắt nhau chỉ do độ cong của không - thời gian về tổng thể, tức là ở kích thước lớn. Độ cong này tác động lên vật chất, và kết quả là các đường đoản trình phân kỳ ban đầu cắt nhau. Về phần mình, vật chất ảnh hưởng lên hình học không - thời gian và điều đó làm không - thời gian bị cong do mật độ khối lượng cao, mà ở đây nó được tượng trưng bằng cuống quả táo. Khối lượng như được tập trung ở cuống, và do đó xuất hiện chỗ lõm trên mặt quả táo. Điều ta nhìn thấy có thể phát biểu như sau bằng ngôn ngữ của thế giới vật lý hiện thực: sự tập chung khối lượng làm cho không - thời gian bị cong.
