CÁC HÌNH HỌC PHI EUCLID
Năm 1826, khá lâu trước khi có lý thuyết hấp dẫn mới nhà toán học Nga Nikolai Ivanovich Lobachevski (1792 - 1856) đã xây dựng một hình học khác với hình học Euclid mà ngày nay mang tên ông. Sau đó nhà toán học người Đức là Bernhard Riemann (1826 - 1866) lại xây dựng một hình học phi Euclid khác nữa. Ở các hình học đó các tính chất của không gian hoàn toàn khác: ví dụ tổng các góc bên trong tam giác không bằng 1800.
Các hình học Euclid, Lobachevski và Riemann khác nhau một cách cơ bản: hình học Euclid là không gian phẳng, còn các hình học Riemann và Lobachevski thì là không gian cong.
Chỉ có những phép đo mới có thể trả lời được câu hỏi: hình học nào mô tả đúng hơn không gian vật lý thực tế.
Carl Friedrich Gauss ( 1777 - 1855) và Lobachevski hoàn toàn độc lập với nhau đã đề xuất các thí nghiệm để tìm ra hình học thực tế. Gauss đo tổng các góc của tam giác được tạo nên bởi ba đỉnh đồi, còn Lobachevski, cũng với mục đích như vậy đã chọn một tam giác lớn hơn nhiều: các đỉnh của tam giác này là đài quan sát thiên văn trên mặt đất và hai ngôi sao ở xa.
Không gian Riemann đơn giản nhất – đó là hình cầu hai chiều, tức là không gian có độ cong dương không đổi. Trong hình cầu này thì những đường tròn lớn của hình cầu đóng vai trò các đường thẳng. Tổng các góc của tam giác ABC, được tạo nên bởi các điểm cắt của ba “đường thẳng” như vậy, luôn luôn lớn hơn 1800.
Hình học Lobachevski xét các không gian có độ cong âm không đổi, ví dụ hipecboloit. Ở hipecboloit này thì các đường hipecbon đóng vai trò các đường thẳng; đó là những đường có độ dài nhỏ nhất trên mặt hipecboloit. Tam giác ABC được tạo nên bởi ba “đường thẳng” như vậy có tổng các góc trong nhỏ hơn 1800.
Tuy nhiên, như ngày nay đã rõ ràng, các phép đo của Gauss cũng như những quan sát của Lobachevski đã không giải được và cũng sẽ không thể giải được bài toán này. Vấn đề thậm chí không phải là ở chỗ độ chính xác của các phép đo là nhỏ, như nhiều người nghĩ. Đơn thuần là vì mối liên hệ giữa hình học với vật lý học được xác định bởi các quy luật của lý thuyết tương đối rộng bấy giờ còn chưa được xây dựng. Chỉ khi chú ý đến những hiệu ứng của nó thì mới có thể đặt ra được những thí nghiệm một cách đúng đắn.
Nghịch lý của Ehrenfest đã chỉ ra rằng trong hệ quy chiếu không quán tính thì các tính chất của không gian sẽ thay đổi, và nó không còn được mô tả bởi hình học Euclid. Ở hệ quy chiếu này không có các tỷ xích như nhau của độ dài ở các hướng khác nhau: dọc theo bán 
kính chiếc đĩa độ dài của chiếc thước sẽ không còn là độ dài dọc theo đường tiếp tuyến đối với vành của chiếc đĩa. Và do đó không thể xác định vị trí của một điểm đối với tâm của đĩa một cách đơn trị. Ngoài ra còn xuất hiện vấn đề với những chiếc đồng hồ. Nếu đặt một chiếc đồng hồ ở tâm đĩa chiếc, chiếc thứ hai đặt ở mép đĩa, thì hai chiếc đồng hồ này sẽ chạy khác nhau.
Theo cách nhìn của hệ quy chiếu không quay thì chiếc đồng hồ nằm ở mép đĩa chạy chậm hơn so với chiếc đồng hồ ở tâm đĩa. Vậy ta thấy rằng cả thời gian cả tọa độ của sự kiện đều không được xác định: không còn chỉ thời gian đích thực, còn hiệu các toạ độ cũng không còn là khoảng cách giữa các điểm. Einstein đã vượt qua được những khó khăn này chỉ sau khi được biết rằng các nhà toán học đã giải quyết được vấn đề mô tả các không gian phi Euclid.
ERNST MACH
Người duy nhất mà Einstein tôn là thầy: đó là Ernst Mach (1838 - 1916). Một phần nhờ Mach mà Einstein năm 1911 có được ghế giáo sư biên chế trong Trường Đại học Tổng hợp của Đức tại Prague (nay thuộc Cộng hoà Séc), nơi mà Mach là hiệu trưởng các năm 1879 - 1880 và 1883 - 1884.
Mach và Einstein có điều gì đó rất giống nhau. Khi mới 4-5 tuổi cả hai người đều rất sửng sốt trước những đồ vật có vẻ như rất bình thường. Cậu bé Einstein khi nhìn thấy chiếc la bàn thì nghĩ ngay đến câu hỏi: lực nào làm cho chiếc kim la bàn quay về hướng cần thiết. Còn Mach thì rất kinh ngạc khi nhìn thấy chiếc cối xay nước. Trong bài cáo phó cho Mach, Einstein đã viết rằng nhà bác học vừa qua đời như được sinh ra để hào hứng chiêm ngưỡng và tìm hiểu thế giới này và khả năng đó ở ông “được phát triển mạnh đến mức cho tới tuổi già ông vẫn nhìn thế giới bằng đôi mắt đầy háo hức của trẻ thơ...”.
Ernst Mach sinh ra ở làng Chrliza miền Nam xứ Séc, hiện nay là ngoại ô thành phố Brno. Ông đã học các lớp tiểu học ở trường học thuộc giáo hội, nhưng ở đó người ta đã không đánh giá đúng khả năng của cậu bé cho nên cha ông, một thày giáo làng, đã tự dạy cho ông môn toán học và các ngôn ngữ cổ điển.
Năm 22 tuổi Mach đã trở thành tiến sĩ triết học tại Trường Đại học Tổng hợp Vienna và 26 tuổi Mach trở thành giáo sư của Trường Đại học Tổng hợp ở Graz. Tại đó ông lãnh đạo phòng thí nghiệm vật lý. Khoảng thời gian dài (1867-1895) trong cuộc đời hoạt động khoa học của ông gắn liền với Prague. Tuy vậy năm 1895 nhà bác học trở lại đại học tổng hợp Vienna, nơi ông nhận bộ môn triết học.
Vậy Mach là ai - nhà vật lý hay nhà triết học? Có lẽ cả hai. Bản thân ông không tách rời triết học với vật lý học. Các định luật của vật lý không tồn tại đối với Mach khi không có sự giải thích về mặt triết học, song triết học mà không có sự hiểu biết về mặt vật lý cũng là vô nghĩa đối với ông. Ông đã xây dựng lý thuyết chuyển động siêu thanh, học thuyết về các sóng xung kích; ông đưa vào các khái niệm được gọi là hình nón Mach và số Mach (xem phần ''Khí động lực học''). Và Mach chỉ quan tâm đến việc nhận thức thế giới chứ không quan tâm đến ứng dụng thực tế của những phát minh.
Sự chảy vòng siêu thanh của vật thể nhọn. Vận tốc của vật thể lớn hơn vận tốc âm thanh 2,6 lần (số Mach M = 2,6). Từ phần mũi nhọn phát đi một sóng xung kích, đó gọi là “hình nón Mach”
Sự chuyển động tồn tại trong ý nghĩa nào đối với chúng ta? Chúng ta chỉ có thể dựa vào những cảm giác riêng của mình. Những công trình đầu tiên của Mach nói về vấn đề đó: ''Về cảm giác sự chuyển động'' (năm 1875) và ''Phân tích về cảm giác'' (năm 1886). Trong các công trình đó ông chứng minh rằng chỉ những cảm giác và sự liên hệ giữa chúng là có thực. Theo ông, mục đích thực sự của khoa học không phải là những sự tranh luận bất tận về vấn đề thế giới như thế nào trong thực tế mà là sự sắp xếp có lôgic các cảm giác. Những ý tưởng này đã đặt cơ sở cho việc phát triển dòng triết học giai đoạn hai, được gọi là chủ nghĩa thực chứng - đó là ''chủ nghĩa Mach'' hay ''chủ nghĩa kinh nghiệm phê phán''.
Các nguyên tử có thực không? Mach đã cả gan khẳng định rằng ông không biết điều đó. Ông như người đi ngược với sự tiến bộ của khoa học: vào thời đó sự tồn tại của các nguyên tử đã được chứng minh bằng những phát hiện của Roentgen, vợ chồng Curie, Boltzmann, Planck. Einstein cũng không nghi ngờ gì về tính hiện thực của các nguyên tử; chính ông đã giải thích về chuyển động Brown của phấn hoa do va chạm của các nguyên tử. Vậy vì sao Mach lại khăng khăng phủ định sự thật hiển nhiên đó?
Einstein là người hiểu Mach hơn ai hết. Ông gọi Mach là ''người có tính độc lập hiếm có trong các quan điểm và đã có ảnh hưởng lớn lên sự định hướng có tính chất nhận thức luận của các nhà tự nhiên học thời đại chúng ta''. Mach kêu gọi mọi người phải có thái độ phê phán với chính những điều mà đã được xem là hiển nhiên và rõ ràng. Quan điểm như vậy của Mach đã làm lung lay lòng tin vào sự vững chắc của định luật cơ học của Newton.
Einstein không chỉ công nhận vai trò lớn lao của nguyên lý Mach trong việc xây dựng lý thuyết tương đối rộng mà còn cho rằng ''Mach ... đã tiến rất gần tới lý thuyết tương đối rộng... nửa thế kỷ trước khi nó ra đời''.
Tuy nhiên một số nhà khoa học không che đậy sự thù ghét đối với Mach. Mach đã có sự ảnh hưởng lớn lao đối với bản thân Einstein, còn những người đương thời khác thì hoặc không muốn, hoặc không có khả năng đánh giá nhà tư tưởng vĩ đại. Và trong lời phát biểu của Einstein về ảnh hưởng lớn lao của Mach đối với các nhà tự nhiên học thời đó không khỏi có chút ngậm ngùi. Einstein đã viết: ''Tôi nghĩ rằng ngay những người cho mình là đối nghịch với Mach chắc gì đã nhận thức được rằng họ đã hấp thụ từ hồi thơ ấu cùng nguồn sữa mẹ bao nhiêu ý tưởng mà Mach đã đưa ra''.
Tính độc lập trong cách nhìn của Mach thể hiện cả đối với quan niệm của Newton về tác động tầm xa. Nhìn lại cuộc tranh luận giữa hai phe tác động tầm xa và tác động tầm gần, Mach đã viết trong cuốn ''Nhận thức và sai lầm'' (năm 1905): ''Ý tưởng của Newton về các lực tác động trên khoảng cách là một thành quả trí tuệ vĩ đại. Nó đã cho phép trong một thế kỷ xây dựng xong môn vật lý toán hoàn chỉnh''.
Có vẻ như tác động tầm xa đã vĩnh viễn bị đẩy lùi khỏi vật lý học với lý thuyết trường của Maxwell - Lorentz. Tuy nhiên với sự phát hiện các lượng tử thì lại xuất hiện những khó khăn mới cho việc nhận thức môi trường truyền tương tác như thế nào. Bởi các hạt cơ bản không thể luôn luôn tiếp xúc với nhau.
Mach ủng hộ quan niệm tác động tầm xa và không coi nó là sai. Khẳng định điều đó ở cuốn thế kỷ XIX, khi quan niệm tác động tầm gần thắng thế, là thể hiện một lòng dũng cảm tuyệt vời. Trong khi đó ông đã dự đoán trước những lý thuyết vật lý hiện đại, dựa vào nguyên lý trao đổi các lượng tử. Và mặc dù Ernst Mach phản đối lòng tin mù quáng vào các nguyên tử, ta vẫn có thể khẳng định rằng các ý tưởng của ông là cơ sở không chỉ của lý thuyết tương đối rộng mà cả của vật lý lượng tử.
