HÌNH HỌC TƯƠNG ĐỐI TÍNH
Khi phát biểu trên diễn đàn Đại hội các nhà nghiên cứu tự nhiên ở Cologne, Đức (năm 1908) với báo cáo ''Không gian và thời gian'', nhà toán học Đức Hermann Minkowski (1864 - 1909) tuyên bố: ''Thưa quí vị! Cách nhìn không gian và thời gian mà tôi muốn trình bày trước quý vị đã sinh ra trên cơ sở vật lý thực nghiệm. Đó là sức mạnh của nó. Xu hướng của nó là rất dứt khoát. Từ nay không gian tự thân nó, thời gian tự thân nó không còn nữa mà, chỉ còn là các mặt biểu hiện của một kiểu hợp nhất nào đó và chỉ kiểu kết hợp này mới là một chỉnh thể độc lập Minkowski đã phát triển tài tình tư tưởng của Poincaré về sự bình đẳng giữa các tọa độ không gian và thời gian, bằng cách ứng dụng môn hình học giả Euclid (peseudo - uclidian) 4 chiều.
Như ta đã biết, bình phương khoảng cách giữa 2 điểm gần nhau trong không gian Euclid ba chiều:
dl2 = dx2 + dy2 + dz2, (l)
với dx, dy, dz là các hiệu tọa độ hai điểm ấy. Đó là “công thức chủ yếu” của hình học Euclid, dẫn tới định lý Pythagoras. Trong mọi hệ tọa độ Descartes - dù bị tịnh tiến, quay, hay chuyển động thì khoảng cách dl đó vẫn giữ nguyên giá trị của mình. Nhưng trong hình học Minkowski thì ''công thức chủ yếu'' - biểu thức bình phương của một đại lượng được gọi là khoảng cách giữa hai biến cố.
ds2 = c2dt - dx2 - dy2 - dz2 (2)
hoặc, kể đến công thức (1), ta có:
ds2 = c2dt - dl2, (2a)
ở đây c - tốc độ ánh sáng, còn t - thời gian giữa hai biến cố.
Chúng ta lấy hệ quy chiếu quán tính với các tọa độ không gian Descartes và tính toán ''khoảng'' giữa 2 biến cố theo công thức (2). Hoá ra là khi chuyển tới bất cứ hệ quy chiếu quán tính nào khác thì ''khoảng''giữa những cặp biến cố là không thay đổi!
Đó là một kết luận rất quan trọng, vì thế ta nên xem xét nó tỉ mỉ hơn.
Trong lý thuyết cổ điển cũng như trong lý thuyết mới của không - thời gian định luật quán tính luôn đúng ở tiêu điểm. Trong lý thuyết cổ điển thì bên cạnh nó có thể phụ thêm một tiên đề: các khoảng thời gian và khoảng cách là như nhau trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính, nhờ thế suy ra định luật vectơ cộng vận tốc.
Còn trong lý thuyết tương đối tính lại phải tiên đề hóa rằng khoảng giữa các biến cố không phụ thuộc việc chọn hệ quy chiếu (nghĩa là phải bất biến theo cách nói toán học), suy ra định luật mới về cộng vận tốc.
Còn trong lý thuyết tương đối tính lại phải tiên đề háo rằng khoảng cách giữa các biến cố không phụ thuộc việc chọn hệ quy chiếu (nghĩa là phải bất biến theo cách nói hóa học). Suy ra định luật mới về cộng vận tốc (Xem mục “cuộc cách mạng năm 1905 trong lịch sử vật lý học”). Cơ học cổ điển sử dụng hình học Euclid ba chiều, suy ra từ công thức (1), và “hình học một chiều” của thời gian. Còn trong lý thuyết mới, tương đối tính - đó là hình học giả Euclid bốn chiều dựa trên công thức (2). Bốn đại lượng (t, x, y, z) xác định biến cố bất kỳ được gọi là bốn tọa độ của biến cố đó.
Từ tính bất biến của khoảng ta thu được những hệ quả thú vị: đối với một vật chuyển động với vận tốc không đổi v, thì dl = vdt, tức là ds2=c2dt2 – dl2 = c2dt2 – v2dt2 = (c2 – v2)dt2. Còn nếu chuyển sang hệ quy chiếu đó vật đứng yên, thì ds2 = c2dt2. Vì khoảng lúc đó không bị thay đổi, cho nên c2dt’2 = (c2 – v2)dt2. Thời gian dt’ đo được bằng đồng hồ chuyển động cùng với vật được gọi là thời gian riêng. Thực hiện vài biến đổi nhỏ ta sẽ có:
(3)
Bây giờ ta để ý đến sự khác biệt giữa hình học Minkowski và hình học Euclid. Để đơn giản ta chỉ xét chuyển động một chiều của vật dọc theo trục x, nghĩa là chỉ cần mặt phẳng (t,x).
Mỗi điểm của mặt phẳng Minkowski xác định đơn trị các biến cố xảy ra tại thời điểm đã cho ở vị trí không gian đã cho. Chuyển động của vật tương ứng với một chuỗi liên tục các biến cố được diễn tả bằng một đường nào đó trên mặt phẳng Minkowski, có tên gọi là đường thế giới của vật.
Nếu vật chuyển động từ điểm (0,0) với vận tốc không đổi v, đường thế giới của nó sẽ có dạng đường thẳng x = vt mà theo nguyên lý vận tốc giới hạn, nó phải nằm không cao hơn đường thẳng x = ct và không thấp hơn đường thẳng x = - ct, hoặc như thường nói, phải nằm trong giới hạn của nón ánh sáng.
Nếu vật chuyển động trong mặt phẳng (x,y) với vận tốc v, thì x2 + y2 = v2t2 (ở tốc độ cực đại, khi v = c, thì x2 + y2 = c2t2 mà đó chính là phương trình của một mặt nón (cho nên mới có tên ''nón ánh sáng''). phải hơi có óc tưởng tượng để có thể hình dung một mặt nón trong không gian bốn chiều, có phương trình ở dạng:
x2 + y2 + z2 = c2t2.
Bây giờ ta thử phân loại các mối quan hệ trong tác khả dĩ có được giữa hai biến cố: biến cố tương ứng gốc tọa độ trên mặt phẳng Minkowski ký hiệu là O, còn biến cố khác nào đó ký hiệu là a. Có cả thảy 3 phương án khác nhau:
a) Biến cố a nằm trong giới hạn của nón ánh sáng (ds2 > 0), hơn nữa t > 0 (phần nón phía trước). Khi đó trong hệ quy chiếu bất kỳ biến cố a luôn xảy ra sau (muộn hơn) biến cố O. Vì thế nửa trước của nón ánh sáng được gọi là miền tương lai tuyệt đối và khoảng ds2 > 0 gọi là khoảng kiểu thời gian. Luôn luôn có thể tìm được một vật có ''đường thế giới'' nối O và a, vì biến cố a là hệ quả khả dĩ của biến cố O, và O là nguyên nhân khả dĩ của a.
b) Biến cố a nằm trong vùng trường ''sau hình nón'', nơi cũng có 
(khoảng kiểu thời gian) nhưng t < 0. Trong bất cứ hệ nào thì biến cố a cũng xảy ra sớm hơn so với O, nghĩa là vùng trường phía sau là miền quá khứ tuyệt đối. Trường hợp này ngược với trên kia biến cố O là hệ quả khả dĩ của biến cố a, và a là nguyên nhân khả dĩ của biến cố O.
c) Biến cố a đứng ngoài nón ánh sáng. Khi đó ds2< 0, khiến cho trong một số hệ quy chiếu biến cố a xảy ra muộn hơn so với O, còn trong một số hệ khác thì biến cố a lại xảy ra sớm hơn so với O. Thế là các biến cố O và a không thể có quan hệ nhân - quả của nhau được, vì không có vật thể hay tín hiệu nào có thể chuyển động với vận tốc vượt quá vận tốc ánh sáng (để liên lạc giữa hai biến cố “xa xôi” nhau đến thế!). Không có đường thế giới của một vật nào có thể nối kết các biến cố ấy, khoảng giữa chúng được gọi là khoảng kiểu không gian.
Khi chuyển sang một hệ quy chiếu khác thì đường thế giới bị thay đổi? Nếu hệ K’ chuyển động đối với hệ K với vận tốc v dọc theo trục x, thì các tọa độ của biến cố (t,x) đối với hệ K liên hệ với các tọa độ của chính biến cố ấy (t’,x’) đối với hệ K’ bằng phép biến đổi Lorentz:
Có thể tin tưởng rằng các trục hệ K’, là các đường vuông góc quay đối với trục của hệ K, nhưng góc giữa các trục thì không còn là vuông góc nữa. Đó là một biểu hiện cụ thể sự khác biệt giữa hình học Minkowski và hình học Euclid.
Ý nghĩa của hình học Minkowski tuyệt nhiên không chỉ sơ sài có mấy công thức và đường vẽ kiểu giả Euclid. Rất quan trọng là không chỉ các tọa độ không - thời gian mà cả các đại lượng vật lý cũng được “diễn đạt” thành ngôn ngữ hình học bốn chiều. Điều đó có ý nghĩa gì? Trong lý thuyết phi tương đối tính các đại lượng vật lý cơ bản, từ quan điểm hình học, được chia ra hai phạm trù: Thứ nhất là các đại lượng vô hướng - những đại lượng đặc trưng bởi một con số (còn gọi là một ''thành phần'') và là như nhau trong bất kỳ hệ tọa độ nào. Ví dụ
như: khoảng cách giữa hai điểm, áp suất chất khí, nhiệt độ...). Thứ hai - đó là các đại lượng vectơ, có ba thành phần; khi chuyển từ một hệ tọa độ Descartes này sang hệ Descartes khác chúng được tính lại theo cùng các công thức tọa độ Descartes của mỗi điểm (ví dụ như vận tốc lực, cường độ điện trường...). Trong lý thuyết tương đối tính người ta dùng hình học bốn chiều. Vì thế tất cả các đại lượng vật lý được phân loại theo cách khác: 4 vô hướng có giá trị (như là một khoảng) như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính, và 4 vectơ, là các đại lượng gồm 4 thành phần; khi chuyển từ 1 hệ quy chiếu sang hệ khác chúng được tính lại theo cùng các công thức như 4 tọa độ của các biến cố. Người ta còn sử dụng cả các khái niệm toán học phức tạp - cái gọi là những tenxơ hạng hai, tức các đại lượng gồm có 4 x 4 = 16 thành phần và các tenxơ hạng cao hơn: 
thành phần v.v…
Nhà sáng lập hình học tương đối tính (thường được gọi là không thời gian Minkowski) dành những năm cuối đời của mình cho việc thiết lập trật tự tương đối tính trong các lĩnh vực then chốt của vật lý cổ điển là điện động lực học và cơ học. Khi David Hilbert giao cho chàng trai Max Born mở tập tài liệu của Minkowski, anh ta thấy có hàng trăm trang viết tay, đầy các công thức và ký hiệu, không có lấy một chữ nào giải nghĩa các ký hiệu được đưa ra... Y như ''cái gậy'' trao tay người chạy tiếp sức trên vòng đua khoa học, các trang đầy ký hiệu trong công trình cuối cùng của Hermann Minkowski đã giới thiệu cho thế giới vật lý học một trong các khuôn mặt tài năng xuất chúng nhất của lò đào tạo Gottingen - đó là Max Born.
KHÔNG GIAN TƯƠNG ĐỐI CỦA VẬN TỐC
Năm 1826 nhà toán học Nga Nikolai Ivanovich Lobachevski trong báo cáo tại khoa toán lý toán trường Đại học tổng hợp Kazan đã trình bày về một hình học mới, khác với hình học Euclid, và nêu vấn đề về mối liên hệ giữa thứ hình học ''tưởng tượng'' này với thế giới hiện thực. Câu trả lời cho vấn đề của ông chỉ có được sau khi xây dựng lý thuyết tương đối hẹp.
Năm 1910 nhà toán học người Croatia Vladimir Varichak (1865 - 1942) đã vạch rõ sự tương tự giữa việc cộng vận tốc tương đối tính với việc cộng các ''đoạn thẳng'' trên ''mặt phẳng'' Lobachevski. Ông đã diễn đạt một cách rất giản dị các phép biến đổi Lorentz theo thuật ngữ của hình học Lobachevski và đã tính toán ra nhiều hiệu ứng tương đối tính. Nhà hình học và cơ học Nga Aleksandr Petrovich Kotenikov (1865 - 1944) đã hoàn thành việc nghiên cứu sâu hơn. Trên cơ sở phương pháp hình học xạ ảnh năm 1923 ông đưa ra khái niệm ''không gian vận tốc'' của cơ học tương đối, làm hiện thực hoá rất chuẩn xác môn hình học Lobachevski.
Không gian vận tốc được xây dựng theo cách như sau: người ta xác định một hệ quy chiếu quán tính nào đó; trong không gian vận tốc nó sẽ tương ứng với một điểm, được lấy làm gốc toạ độ. Từ một tập hợp các hệ quy chiếu còn lại người ta chọn ra chỉ những hệ nào chuyển động với cùng một vận tốc ba chiều 
đối với hệ đã cho. Các hệ quán tính tìm được ấy là hằng đẳng với nhau và được so sánh với một điểm nào đó trong không gian vận tốc: các toạ độ Descarter của nó trong không gian đó sẽ là vx, vy, vz là các thành phần của vận tốc . Vì vận tốc của các vật thể thực không vượt quá vận tốc ánh sáng cho nên các toạ độ (vx, vy, vz) của tất thấy các điểm như thế phải thoả mãn bất đẳng thức
(1)
nghĩa là không gian vận tốc nằm gọn trong quả cầu bán kính c.
Cự li từ điểm này đến điểm khác trong không gian ấy chính là vận tốc tương đối giữa các hệ quy chiếu này khác. Một chuyển động đều trong không gian ba chiều với vận tốc là tương ứng với một đường thế giới thẳng trong không gian bốn chiều Minkowskil mà dọc theo đường đó là hướng của vectơ vận tốc bốn chiều 
. Các thành phần u1, u2, u3 và u4 của véc tơ đó thỏa mãn hệ thức
(2)
trong đó i là đơn vị ảo. Phương trình ấy mô tả hypecboloit hai đới, hay theo cách gọi của các nhà hình học, mặt cầu bán kính ảo ic. ĐỚI phía trên của hypecboloit tạo ra bởi các đầu mút vectơ bốn chiều đi từ gốc toạ độ. Chính Lobachevski từng chỉ ra rằng trên hình cầu bán kính ảo tồn tại một kiểu hình học phi Euclid. Vì thế khoảng cách 
trên hypecboloit (2) được xác định theo các công thức hình học Lobachevski. Nhờ các phép biến đổi xạ ảnh: vx/c = u1/u4; vy/c = u2/u4; vz/c = u3/u4, các điểm của đới trên hypecboloit (2) tương ứng với các điểm không gian vận tốc, thoả mãn bất đẳng thức (1). Quả thực không gian vận tốc là thực thể của hình học Lobachevski.
Đặc trưng của hình học đó do vật lý học, cụ thể hơn là do định luật cộng vận tốc, quy định. Ở các vận tốc nhỏ so với vận tốc ánh sáng các vectơ vận tốc được cộng như cộng các vectơ thường trong không gian Euclid. Nhưng với các vận tốc lớn thì bắt đầu có thứ “số học kỳ lạ”: “tốc độ bất kỳ + tốc độ ánh sáng = tốc độ ánh sáng”. Chính trong hình học Lobachevski tồn tại thứ số học ấy.
Bước tiến tiếp theo được thực hiện bởi nhà vật lý Nga Nikolai Aleksandrovich Cherniko (sinh năm 1928) khi ứng dụng hình học Lobachevski vào vật lý năng lượng cao. Ông chỉ ra rằng các công thức độ dài đường tròn, diện tích vòng tròn, sự hút góc tam giác trong hình học Lobachevski là hoàn toàn tương ứng với các biểu thức của xung lượng, động năng của hạt tương đối tính và với công thức 
cho sự hụt khối lượng trong lý thuyết tương đối hẹp. Không gian vận tốc phát huy hiệu lực mạnh mẽ khi giải quyết bài toán va chạm các hạt. Hằng ngày, ở các phòng thí nghiệm hàng đầu thế giới, nhờ các máy tính hiện đại, số liệu ghi nhận từ hàng trăm ngàn thí nghiệm về tán xạ hạt cơ bản đang liên tục được xử lý.
Một cơ sở của việc tính toán ấy là bài toán động học các va chạm, được giải bằng phương pháp hình học Lobachevski. Các nhà vật lý tin tưởng rằng nếu như hình học vị tất họ đã phát minh thêm được điều gì về động học các hạt tương đối tính.
