Tài liệu

BKTT Tổng hợp, Vật lý, Bức tranh trường của thế giới, Lý thuyết tương đối rộng, Trên đường dẫn tới một lý thuyết

Ý tưởng cơ bản của lý thuyết tương đối tổng quát

Nội dung

Ý TƯỞNG CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT

 

Trong mục này chúng ta sẽ không dẫn ra những phương trình của trường hấp dẫn. Vấn đề là ở chỗ các phương trình cơ bản của vật lý học - (Newton, Maxwell, Einstein) không được dẫn ra - người ta đã tìm ra chúng dựa vào những sự kiện đã được xác lập chắc chắn dựa vào những nguyên lý và những định đề. Einstein cũng đi theo chính cách đó - đó là phương pháp dựa theo các giả thuyết chứ không phải dẫn xuất một cách lôgic.

Vì các tọa độ cong đã mất đi ý nghĩa vật lý, cho nên việc chọn tọa độ nào trong những tọa độ này không còn quan trọng - chúng hoàn toàn tương đương. Các sự kiện vật lý bây giờ có thể xét đối với hệ quy chiếu bất kỳ chứ không chỉ đối với hệ quy chiếu quán tính. Nguyên lý tương đối tổng quát mới này khẳng định sự tương đương của mọi hệ quy chiếu không có ngoại lệ để mô tả hấp dẫn. Từ đây đã xuất hiện tên của lý thuyết hấp dẫn mới: thuyết tương đối rộng (hay tổng quát).

Tính cong của không - thời gian làm cho sự tồn tại một hệ quy chiếu duy nhất đối với toàn không gian là không thể được, mà chỉ có thể có được hệ quy chiếu một cách định xứ cục bộ trong miền nhỏ của điểm quan sát. Thậm chí đối với mặt cong đơn giản nhất - mặt Trái Đất phải có không chỉ một bản đồ, mà ít nhất là hai: hai bản đồ của hai bán cầu.

Vậy, tại mỗi điểm cần phải xây dựng hệ quy chiếu định xứ của nó. Vì một hệ quy chiếu như vậy là cong, cho nên nói một cách chặt chẽ thì ở đó không thể dùng thước kẻ và những chiếc đồng hồ mà ta thường dùng.

Người ta sử dụng chúng chỉ vì tương tác hấp dẫn là loại tương tác yếu nhất trong các tương tác mà ta biết được. Ví dụ sức hấp dẫn của hai proton nhỏ hơn sức đẩy tĩnh điện của  chúng là 10³⁹ lần. Sự biểu hiện của hấp dẫn mà mọi ngươi đều biết dưới dạng trọng tượng của một vật bất kỳ trên Trát Đất là lớn bởi vì dưới tác động của hấp dẫn các vật chỉ hút nhau chứ không đẩy nhau. Do đó tác động tổng hợp của tập hợp lớn các khối lượng, cụ thể là của khối lượng Trái Đất sẽ đưa đến những hiệu ứng hấp dẫn rõ ràng. 

 

 

 

 

 

 

Lý thuyết tương đối rộng được xây dựng sao cho định luật mới với những vận tốc nhỏ của chuyển động và với những trường hấp dẫn là đủ yếu chuyển thành định luật vạn lý vật hấp dẫn Newton. Điều đó là có thể bởi vì chính lý thuyết Newton có thể được phát biểu như lý thuyết trường. Thực vậy, đối với chất điểm bị hút bởi vật ở tâm có khối lượng M, thì gia tốc g = GM/r² có thể được biểu thị qua thế hấp dẫn  Tức là (G là hằng số hấp dẫn Newton, r là khoảng cách giữa chất điểm và vật ở tâm). Cũng chính vì lý do đó mà gia tốc rơi tự do trong lý thuyết Newton có thể được xem như cường đọ của trường hấp dẫn. Định luật hấp dẫn của Newton có thể được viết qua các khát niệm của trường như sau:

     (3)

trong đó  là mật độ khối; là những đạo hàm riêng của thế  phụ thuộc vào ba biến: (x, y, z).

Phương trình (3) biểu thị sự phụ thuộc của thế hấp dẫn (vế trái) vào mật độ phân bố  của các nguồn (các khối lượng; vế phải), tức là trường hấp dẫn có liên quan trực tiếp với sự phân bố các khối tượng.

Phương trình (3) được gọi là phương trình Poisson. Phương trình này bất biến đối với các phép biến đổi Galilei, chứ không phải với các phép biến đổi Lorentz. Poincaré cho rằng có thể xây dựng lý thuyết hấp dẫn tương đối tính dựa trên cơ sở lý thuyết tương đối hẹp. Chỉ cần biến đổi phương trình (3) sao cho nó là bất biến đối với các phép biến đổi Lorentz. Để thực hiện điều đó cần thêm vào vế trái số hạng

Nhưng Einstein lại nghĩ khác: cần đưa không - thời gian cong với các tọa độ Gauss tùy ý thay vào chỗ không thời gian phẳng. Do đó ông đã tổng quát hóa phương trình (3) sao cho nó thỏa mãn nguyên lý tương đối tổng quát: vì tất cả các hệ tọa độ Gauss là tương đương, cho nên các phương trình sẽ bất biến đối với các phép biến đổi tọa độ Gauss bất kỳ. Kết quả là Einstein đã thu được các phương trình hấp dẫn, cũng như phương trình (3), chúng mô tả mối liên hệ tương hỗ giữa trường - độ cong của không - thời gian (vế trái) và các nguồn của trường - khối lượng và năng lượng (vế phải):

         (4)

Vế trái của phương trình được biểu thị qua các đạo hàm của các thế; mà các hệ số metric g (và  bằng 0, 1, 2, 3) của không - thời gian cong đóng vai trò các thế. Các đại lượng R và  được biểu thị qua các thành phần của tenxơ độ cong  Vế phải của các phương trình (4) phản ánh sự tác động của các nguồn trường hấp dẫn. Các đại lượng  bao hàm các mật độ khối lượng năng lượng và xung lượng của các khối chuyển động, tức là sự cong của không - thời gian được sinh ra bởi tất cả các dạng năng lượng chứ không chỉ bởi khối lượng của vật chất. Hệ số  là hằng số hấp dẫn Einstein. Ở đây c là vận tốc ánh sáng trong chân không, G là hằng số hấp dẫn.

Trong việc áp dụng hình học vào vật lý học đã có những người đi trước Einstein. ''Riemann, - Alber Einstein viết - đã đi tới một ý tưởng táo bạo rằng trong quan hình học của các vật thể có thể là do các nguyên nhân vật lý, tức là các lực, gây ra. Như vậy, bằng những suy luận toán học thuần túy ông đã đi đến kết luận rằng không thể tách rời hình học với vật lý học: ý tưởng này của ông đã được thực hiện sau đó 70 năm trong lý thuyết tương đối rộng là một lý thuyết gắn hình học và lý thuyết hấp dẫn làm một''.

Một thời gian sau nhà toán học người Anh là William Clifford (1845 - 1879) đã đưa ra một giả thuyết cụ thể hơn về mối liên hệ giữa các tính chất vật lý của vật chất và các tính chất của không gian cong (ông chỉ nói về không gian vì thời đó còn chưa có ai nghĩ đến không - thời gian). Năm 1876 Clifford cho xuất bản một công trình với tiêu đề rất lạ lùng ở thời đó: ''Về lý thuyết không gian của vật chất''. Ông đã viết trong công trình này: ''... sự biến đổi của độ cong không gian là điều xảy ra trong thực tế khi có hiện tượng mà ta gọi là sự chuyển động của vật chất có trọng lượng cũng như của ête... trong thế giới vật tý không có gì ngoài sự biến đổi này...''.

Năm 1915 khi thu được các phương trình (4) Einstein đã hy vọng rằng chúng sẽ mô tả dưới dạng thống nhất các trường vật lý bất kỳ bởi tenxơ năng - xung lương  đứng ở vế phải của các phương trình này phản ánh năng lượng và xung lượng của vật chất bất kỳ và trường bất kỳ, ngoài trường hấp dẫn. Nhưng sau đó nhà  bác học đã thấy rằng những phương trình của ông chỉ mô tả trường hấp dẫn. Nếu vế trái của các phương trình này có tính hình học thuần túy thì vế phải của chúng không phải như vậy. ''Vế phải, - A.Einstein đã viết, - “ bao hàm tất cả những gì mà hiện nay còn chưa được nhập vào lý thuyết trường thống nhất”. Cho đến cuối đời mình ông vẫn cho rằng những phương trình của ông chỉ là ''một cách giải quyết vấn đề tạm thời'' vì chúng tách trường hấp dẫn một cách “giả tạo” khỏi ''trường thống nhất mà ta còn chưa biết cấu trúc''.

 

CÁC PHƯƠNG TRÌNH TENXƠ CỦA EINSTEIN

Trong cách mô tả của Newton thì trường hấp dẫn được biểu thị bằng một đại lượng vô hướng: đó là thế . Để mô tả các trường điện từ trong không - thời gian của lý thuyết tương đối hẹp thì người ta lại dùng thế dưới dạng vectơ A = (A_o, A₁, A₂, A_3­) và các phương trình Maxwell - là những phương trình vi phân bậc hai đối với các thành phần của vectơ A. Không - thời gian là bốn chiều cho nên vectơ bốn chiều A được biểu thị bởi bốn thành phần.

Để mô tả hấp dẫn như độ cong của không - thời gian thì cả các đại lượng vô hướng, cả các vectơ đều không đủ. Các phương trình trường của Einstein không phải là các phương trình vô hướng, cũng không phải là các phương trình vectơ, mà là các phương trình tenxơ.

Tenxơ là gì? Một ví dụ đơn giản nhất về tenxơ (tenxơ hạng một) - đó là vectơ . Trong không gian ba chiều nó được biểu thị bởi ba hình chiếu lên các trục tọa độ a_x, a_y, a_z. Người ta có thể ký hiệu các hình chiếu này là ai, trong đó chỉ số i nhận các giá tân bằng 1,2,3, cho nên a₁ = a_x; a₂ = a_y; a₃ = a_z. Vậy một vectơ tại mỗi điểm - đó là tập hợp ba số được viết trong hệ tọa độ cho trước. Khi chuyển sang hệ tọa độ khác thì tập hợp ba số này biến thành  tập hợp ba số khác: Tập hợp ba số mới này phụ thuộc tuyến tính vào tập hợp ba số ban đầu a₁, a₂, a₃. Tenxơ a_ij (theo số lượng các chỉ số thì a_ij là tenxơ hạng hai) là một đại lượng phức tạp hơn. Mỗi chỉ số i, j nhận các giá trị 1,2,3 độc lập đối với nhau; tức là ta sẽ có 9 đại lượng a_ij. Để tiện lợi người ta viết chúng dưới dạng ma trận (bảng):

trong đó chỉ số đầu (i) chỉ số hàng của ma trận, chỉ số thứ hai (j) chỉ số cột của ma trận. Các đại lượng a₁₁, a₁₂, v.v... là những số nào đó (trong hệ tọa độ cho trước); khi chuyển sang hệ tọa độ khác thì những số này sẽ biến đổi theo một quy luật tuyến tính.

Các phương trình tenxơ Einstein có dạng:  

Ta hãy xét các tenxơ năm trong những phương trình này. Các đại lượng gđó là các thành phần tenxơ hạng hai mà ta đã biết. Đó là tenxơ metric, nó xác định metric của không - thời gian. Trong không gian cong bốn chiều các chỉ số  nhận những giá trị 0, 1, 2, 3, tức là tenxơ này được biểu thị bởi ma trận bốn chiều, và nó có 16 thành phần, chứ không phải ma trận ba chiều với 9 thành phần.

Tuy nhiên tenxơ này là đối xứng: các thành phần của nó không đổi khi hoán vị hai chỉ

số cho nhau, tức là  và trong 16 thành phần của nó chỉ có 10 thành phần là độc lập.

Đại lượng  có tên gọi là texơ Ricci (cũng là tenxơ đối xứng); các thành phần của nó được biểu thị qua các đạo hàm riêng bậc một và bậc hai của các thành phần tenxơ . Đại lượng vô hướng R ta có được bằng cách cộng các thành phần  ở vế phải của phương trình Einstein có  là tenxơ năng xung lượng của vật chất - nguồn tạo ra sự cong của không - thời gian. Thành phần T₀₀ của tenxơ này là mật độ năng lượng pc² của vật chất, và những thành phần còn lại T_oi, T_ij (i,j = 1, 2, 3)  đặc trưng cho sự phân bố năng lượng và xung lượng các nguồn của trường dọc theo các trục tọa độ.

Như ta thấy, ở cả hai vế của các phương trình Etnstein đều có các tenxơ hạng hai đối xứng; những tenxơ này đều có mười thành phần độc lập. Do đó những phương trình Einstein làm thành một hệ mười phương trình vi phân bậc hai đối với mười ẩn số - đó là các thành phần của metric.

 

JOHN ARCHIBALD WHEELER

 

John Archibald Wheeler sinh năm 1911. Sự nghiệp khoa học đa dạng của ông đã nói lên ông là người rất giàu trí tưởng tượng. Những ý tưởng của ông luôn toát lên sự mới mẻ, tính nghịch lý khác thường và bao giờ cũng đáp ứng những tiêu chuẩn cao nhất của toán học.

Năm 1937, hoàn toàn độc lập với Heisenberg, Wheeler đã đưa ra ma trận tán xạ (S - ma trận, từ tiếng Anh scattering có nghĩa là tán xạ) để mô tả các tương tác. Cùng với Bohr năm 1939 ông đã chứng minh rằng dưới tác động của nơtron nhiệt các hạt nhân ²³⁵U có thể phân hạch. Cũng trong năm đó ông đã chứng minh khả năng phản ứng dây chuyền của các hạt nhân urani và đã đề xuất các phương pháp điều khiển lò phản ứng hạt nhân. Năm 1947 nhà bác học đã tiên đoán sự tồn tại các nguyên tử meson và hai năm sau ông đã đưa ra giả thiết về sự phân hạch urani nhờ quá trình bắt - meson - đó cũng là một cách thực hiện phản ứng dây chuyền.

Khi nghiên cứu cấu trúc không thời gian có kích thước cỡ 10^-33cm, Wheeler tìm ra một phương pháp mới mà sau này được gọi là ''hình động lực học'' bằng cách đưa ra mô hình khối lượng ''không có khối lượng'' (''geon'' Wheeler) và điện tích “không có điện lượng” và điện tích với những đặc tính của tôpô không - thời gian. Nhà bác học cũng nghiên cứu các vấn đề hấp dẫn lượng tử, cơ hấp dẫn, lý thuyết sao nơtron và cấu trúc của vật chất khi ở mật độ và nhiệt độ cao.

John Wheeler là người đứng đầu của một trường phái lớn các nhà vật lý lý thuyết. Những học trò của ông được thừa hưởng ở ông tính táo bạo và sự hoàn mỹ của các ý tưởng. Một ví dụ có tính thuyết phục đó là sự nghiệp của một trong số học trò của ông: Richard Feynman người đã được nhận giải thưởng Nobel năm 1965.