VẤN ĐỀ 100 CON GÀ LÀ GÌ?
Vào thế kỷ thứ 5, trong một bộ số học nổi tiếng của Trung Quốc ''Toán kinh Trương Khu Kiện'' có một câu hỏi toán học nổi tiếng như sau: Giả sử mỗi con gà trống giá 5 đồng, mỗi con gà mái giá 3 đồng, gà con cứ 3 con chỉ cói đồng. Nay bỏ ra 100 đồng để mua 100 con, hỏi gà trống, gà mái, gà con mỗi loại mua mấy con? Trong lịch sử toán học, câu hỏi loại này được gọi là ''câu hỏi 100 con gà''.
Giải quyết câu hỏi này như thế nào? Giả sử số gà trống mua là x (con); số gà mái là y (con); số gà con là x (con), vậy theo điều kiện đã ra ta có:
x + y + z = 100 (1)
5x + 3y + z = 100 (2)
Trong phần đại số, chúng ta đã học cách giải hệ 2 phương trình 3 ẩn, nhưng trong đó ẩn số của phương trình và ẩn số chưa biết là giống nhau. Hệ phương trình thường chỉ có một cách giải duy nhất. Còn câu hỏi 100 con gà lại khác, ẩn số trong phương trình mà nó chứa lại nhỏ hơn ẩn số chưa biết, đang câu hỏi kiểu này được gọi là câu hỏi về phương trình bất định. Vì vậy câu hỏi 100 con gà là dạng câu hỏi cần phải giải toàn bộ các ẩn số của phương trình bất định trong một lần. Thông thường mà nói, phương trình bất định có vô số cách giải.
“Toán kinh Trương Khu Kiện'' không ghi chép lại cụ thể cách giải câu hỏi 100 con gà mà chỉ đưa ra 3 tổ đáp án:
Nói cách khác: gà trống tăng dần 4 con, gà mái giảm dần 7 con, gà con tăng dần 3 con, chúng ta xem một chút nhưng kết luận này có từ đâu:
Lấy (2)x3 - (1) ta được: 14x + 8y = 200
7x + 4y = 100 (3)
Từ (3) ta thấy: 4y và 100 đều là ước số chung của 4, hay 7x = 100 - 4y = 4(25-y).
Vì vậy cũng là ước số chung của 4, nói cách khác, x phải là ước số chung của 4. Ta có thể đặt lần lượt x=4; x=8; và x=12 và có y tương ứng là y=18; y=11; và y=4; x=78; z=81; và z=84. Theo đầu bài thì x,y,z đều phải nhỏ hơn số nguyên 100; cho nên tuy phương trình bất định có thể có vô số cách giải nhưng trong câu hỏi 100 con gà chỉ có thể có 3 đáp án trên.
