CÁC ĐƯỜNG CONG CHẮC CHẮN VẼ ĐƯỢC RA KHÔNG?
Những tối mùa hè chúng ta thường nhìn thấy rất nhiều sao băng trên bầu trời, quỹ đạo mà sao băng đi qua là một đường cong. Bạn cắm một que hương đã châm lửa di động thì tia lửa giống sao băng đó cũng sẽ ''vẽ'' ra đường cong. Trong số học dùng cách miêu ta từng điểm để vẽ ra các đường cong chính là dựa vào ý nghĩ này. Hình tròn, đường Parabol, Hypecbol, đường cong sin đều có thể dùng ''cách nêu ra các điểm'' để vẽ ra.
Vậy thì có phải tất cả các đường cong trên mặt phẳng đều được vẽ ra bằng cách miêu ra các điểm không? Hay phải chăng tất cả các đường cong trên mặt phẳng chắc chắn đều vẽ được?
Điều này đã đề cập đến định nghĩa về đường cong trên mặt phẳng. Trên thực tế vào năm 1893 nhà số học người Pháp Yordan trước khi phân tích rõ ràng định nghĩa các đường cong thì ngành số học vẫn chưa có định nghĩa thực sự về đường cong. Các đường cong được sử dụng như một khái niệm nguyên thuỷ tư nghĩ ra trong hình học. Trong khái niệm nguyên thuỷ này, các đường cong là những thứ có thể vẽ ra và được cho là chỉ có chiều dài chứ không có chiều rộng, còn nhưng thứ tự nhiên vẽ ra lại chính là những đường cong.
Sau khi khái niệm đường cong được định nghĩa rõ ràng, cùng với sự phát triển của số học, đặc biệt là sự phát triển của hình học vi phân và topa học, khái niệm về đường cong đã từng bước được mở rộng hơn, vẽ được hay không đã không còn là tiêu chuẩn phân biệt các đường cong. Các nhà số học cũng đã nghĩ ra rất nhiều đường cong không thể vẽ được. Chẳng hạn như nhà số học người Ba lan Xieerpinsiji đã vẽ ra những đường gọi là đường cong trên mặt phẳng của ''tấm thảm Xieerpinsiji''. Ông đã cấu tạo như sau:
Chia hình chính phương A thành 9 hình chính phương bằng nhau và khoét phần bên trong của hình chính phương trung tâm (hình 1), rồi lại chia 8 hình chính phương còn lại, mỗi hình thành 9 hình chính phương bằng nhau, rồi lại khoét phần trong của hình chính phương trong tâm (hình 2), như vậy ta sẽ được 82=64 hình chính phương chứa các đường biên (chúng ta gọi đây là các hình chính phương cấp II), rồi lại làm tương tự với mỗi hình chính phương cấp II, ta sẽ được 83=512 hình chính phương chứa các đường biên (ta gọi là các hình chính phương cấp III) , (hình 3). Cứ làm liên tục như vậy, các điểm mà hình chính phương A thừa ra và tập hợp ở C chính là tấm thảm Xieerpinsiji, nó phù hợp với định nghĩa các đường cong trên mặt phẳng. Các đường cong đặc biệt này khác với các đường cong trên mặt phẳng bình thường, không thể dùng cách miêu ta các điểm để vẽ ra nó được. Nó đóng vai trò quan trọng trong quá trình nghiên cứu khái niệm đường cong.
