TẠI SAO THỂ ĐA GIÁC CHỈ CÓ NĂM LOẠI?
Trong một số thể kết tinh, chúng ta thường nhìn thấy một số thể đa diện có hình dạng đặc biệt, mỗi mặt của chúng đều là những đa giác đều hoàn toàn giống nhau, mỗi một góc đa diện là những góc đa diện chính bằng nhau. Đây chính là thể đa giác chính diện. Mặc dù hình vẽ của thể đa giác có rất nhiều nhưng thể đa giác chính diện chỉ có 5 loại. Tại sao lại như vậy?
Trước tiên chúng ta hãy xem một chút về công thức ơle. Vào thế kỷ XVII, nhà số học kiệt xuất người Thụy Sỹ Ơle đã đưa ra công thức giải thích hàm số sau: E =V + F - 2. Trong đó E, V, F lần lượt là góc, đỉnh và cạnh của thể đa giác. Công thức này đã giải quyết quan hệ ràng buộc lẫn nhau giữa đỉnh, góc và cạnh của thể đa giác và được gọi là công thức Ơle.
Bây giờ chúng ta vận dụng công thức Ơle để chứng minh thể đa giác chính diện chỉ có 5 loại.
Giả sử biến số tạo nên mỗi mặt của thể đa giác chính diện là m, vậy thì mỗi cạnh F sẽ có một góc, nhưng mỗi góc được tạo thành từ 2 cạnh gần nhau, vì vậy mF = 2E (1).
Giả sử có n góc đa giác chính diện trên mỗi đỉnh của đa giác chính diện, vậy thì cứ V đỉnh sẽ có nV góc, nhưng mỗi góc lại có 2 đỉnh, suy ra nV = 2E (2).
Từ (1) và (2) đưa vào công thức Ơle, ta được:
hay 
Dưới đây chúng ta hãy xem thể đa giác chính diện do cạnh hình tam giác cấu tạo thành. Do góc đa diện thường không thể quá 360o, mà góc trong của tam giác chính diện bằng 60o, vì vậy góc đa giác chính diện do tam giác chính diện cấu tạo thành chỉ có thể có 3 loại: góc tam diện, góc tứ diện và góc ngũ diện. Bởi vì nếu tồn tại lục diện, do 60o x 6 = 360o, như vậy sẽ tạo nên mặt phẳng chứ không phải là góc đa diện nữa.
Thế nên khi m = 3, có 3 trường hợp:
Khi n = 3 => E = 6, F = 4, là một thể tứ diện
Khi n = 4 => E = 12, F = 8, là một thể bát diện
Khi n = 5 => E = 30, F = 20, là một thể thập diện
Ta lại xem thể đa giác chính diện được cấu thành từ các cạnh của hình chính phương. Do góc trong của hình chính phương là 90o nên chỉ có thể tạo thành góc 3 cạnh chính điện. Mà khi m = 4, n = 3, thì E = 12, F = 16, tức đã tạo thành thể lục diện.
Tương tự do góc trong của hình ngũ giác chính diện là 108o nên dùng nó chỉ có thể tạo thành góc 3 cạnh chính diện, còn thể đa giác được cấu thành từ cạnh của nó cũng chỉ có thể là thể chính diện 12 cạnh.
Góc trong của hình lục giác là 120o, không thể tạo thành góc chính diện đa giác. Vì vậy, thể chính diện đa giác chỉ có thể bao gồm 5 loại như trong hình vẽ, đó là thể tứ diện, thể lục diện, thể bát diện, thể thập nhị diện và thể nhị thập diện.
