Nội dung

ĐƯỜNG CONG BÔNG HOA TUYẾT LÀ MẤY CHIỀU?

Chắc rằng rất chiều người đều biết câu chuyện “Xẩm xem voi”. Chuyện kể rằng, có 3 người mù chưa bao giờ nhìn thấy voi, nhưng họ rất muốn biết con voi có hình dạng thế nào, vì thế liền dùng tay để sờ. Người thứ nhất sờ thấy đuôi voi, anh ta liền cho rằng con voi giống con rắn; người thứ hai sờ thấy tai voi, liền cho rằng voi giống như cái quạt, người thứ ba sờ thấy tai chân voi, con voi trong óc anh ta giống như một cái cột vậy.

Câu chuyện ''Xẩm sờ voi'' muốn nói rằng chúng ta cần phải xem xét sự việc từ nhiều phía, không thể chỉ xem xét một phía rồi phỏng đoán toàn bộ. Nếu chúng nhìn sự việc dưới con mắt trừu tượng hình học thì có thể giúp ta hiểu về khái niệm thứ nguyên. Đuôi con voi chỉ có trên và dưới, là một chiều, tai voi giống như quạt có trên dưới, trước sau là 2 chiều, chân voi không chỉ có trên dưới, trước sau mà còn có phải, trái là 3 chiều. Thông thường những đường cong trong hình học như đường thẳng, đường tròn đều là một chiều, nó chỉ có một hướng, chỉ có thể chạy ra phía trước hoặc phía sau; mặt cong thường là 2 chiều, như mặt phẳng, hiển nhiên là 2 hướng, có thể chạy ra phía trước, phía sau, bên phải hoặc bên trái, còn không gian mà chúng ta đang sống là 3 chiều, nó có 3 hướng, có trên đuôi, trái phải, trước sau. Vì thế, thứ nguyên thực chất là tiêu chuẩn đặc trưng cho sự vật.

Vậy thì, bông hoa tuyết có hình dạng thế nào? Nó là do nhà toán học Thuỵ Điển Gơt dựa trên bông hoa tuyết của tự nhiên tạo ra, quá trình tạo ra nó như sau:

Giả sử E_o là tam giác đều có cạnh là 1 đơn vị, chia mỗi cạnh của E_o làm 3 phần bằng nhau, lấy đoạn ở giữa của các cạnh vừa chia làm cạnh của 1 tam giác đều khác, bỏ đi đoạn 1/3, được E₁; lại chia mỗi cạnh của E₁ thành 3 phần bằng nhau, lặp lại các thao tác vừa rồi được E₂ ... Cứ tiếp tục mãi như thế. Nói tổng quát, E_k+1 là hai cạnh thay thế khác của hình tam giác đều E_k có cạnh dài 1/3^k+1 lấy điểm giữa của 1/3 cạnh. Khi k càng lúc càng lớn, E_k càng lúc càng phức tạp, các răng cưa càng lúc càng dày. Trên thực thế, do quá trình tạo thành bông hoa tuyết là không có giới hạn, nên nó chỉ là một đường cong lý tưởng, vĩnh viễn cũng không thể đạt tới được.

Có đường cong ''vĩnh viễn không đạt tới được'' như thế này, thật đáng để suy nghĩ. Nó còn có đặc điểm đặc biệt nào so với các đường cong thông thường không? Có đầu tiên, nó là một đường cong khép kín, giới hạn trong một khu vực xác định trên mặt phẳng, hiển nhiên có một diện tích xác định. Tiếp nữa, nó dài bao nhiêu nhỉ? Từ quá trình tạo ra nó có thể thấy, mỗi một bước trong quá trình làm đều làm cho độ dài của đường cong mở rộng thêm 1/3, tức là bằng 4/3 độ dài ban đầu, sau mỗi một lần làm có thể tưởng tượng chiều dài của đường cong hoa tuyết là không có giới hạn về độ dài. Cuối cùng nếu chúng ta thu gọn tầm nhìn lại, tập trung để nhìn vào một bộ phận của đường cong hoa tuyết, chúng ta sẽ kinh ngạc mà thấy rằng thì ra từng phần của bông hoa tuyết và toàn bông hoa có hình dạng giống nhau.

Những ''điểm khác người'' này của đường cong hoa tuyết càng chứng tỏ nó không phải là một đường cong bình thường. Trên thực tế nó là một đường cong phân hình.

Đối với đường cong phân hình kỳ lạ này, nếu chúng ta vẫn cho rằng nó là không gian một chiều thì thật không hợp lý. Bởi vì trên đường cong hoa tuyết không có phương hướng nào có thể tin được, phương hướng của nó cùng với quá trình tạo thành dần dần biến thành rất nhiều. Vậy thì, nên định nghĩa thứ nguyên thế nào đây? Chúng ta có thể bắt đầu từ sự giống nhau về hình dáng của từng bộ phận và toàn thể.

Nếu gấp đôi chiều dài của một hình vuông Q lên, sẽ được 3² = 9 hình, thứ nguyên của nó D(Q) = ; nếu gấp đôi chiều dài của nó. D(C)= .

Điều này phù hợp với quan niệm của chúng ta về thứ nguyên. Đối với đường cong hoa tuyết k, cũng có thể suy luận giống như thế, k là do tam giác đều có cạnh là 1 thay đổi thành (hình 1) cũng là do 3 đoạn thẳng là 3 đơn vị độ dài tạo thành. Nếu cũng gấp đôi chiều dài của tam giác đều lên, như hình 2, thì bông hoa tuyết mới sẽ giống hình 3 tức là do 12 đoạn thẳng là 12 đơn vị độ dài tạo thành. Nó gấp bốn lần hình ban đầu. Cũng có thể nói, nếu chiều dài đơn vị của tam giác đều trong đường cong hoa tuyết k gấp đôi lên, thì sẽ nhận được một hình gấp 4 lần hình k. Vì thế D(k) , bí mật cuối cùng được giải thứ nguyên của vòng tròn hoa tuyết bằng cách này mà tam được đấy. Có thể nói nó đã khắc họa thành công đường cong này của bông hoa tuyết và ý nghĩa truyền thống không được liệt vào tính chất của đường cong phân hình kỳ lạ.