Nội dung

CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Nghiệm tổng quát của phương trình đối với dao động điều hòa là hàm mô tả độ dịch chuyển của vật phụ thuộc vào thời gian như sau:

                       (7)

Trong nghiệm (7) của phương trình (2) sin được nhân lên một đại lượng x_max vì bản thân nó thay đổi trong giới hạn từ -1 đến + 1, còn dao động có thể có độ lắc bất kỳ. Đại lượng x_max là độ lệch cực đại của vật dao động đối với điểm cân bằng, hay biên độ dao động. Đối số của hàm (7) người ta gọi là pha dao động.

còn khi t = 0 thì ta có  là pha ban đầu.

1hec (Hz) là tần số mà trong 1 giây xảy ra 1 dao động; 1Hz = 1s^-1.

Tính đẳng thời được Galileo Galilei phát hiện khi ông quan sát chiếc đèn chùm trong nhà thờ ở Pisa đu đưa, còn nhịp mạch của mình ông sử dụng làm “đồng hồ”.

Pha tăng một cách đơn điệu theo thời gian. Nhưng khi nó đạt tới các góc  thì hàm (7) có chung một trị số (sin là hàm tuần hoàn với chu kỳ . Thời gian ngắn nhất T mà vật lặp lại sự chuyển động của mình gọi là chu kỳ dao động. Chú ý đến mối liên hệ giữa  và t ta có:

Trong mỗi chu kỳ T một dao động toàn phần được thực hiện. Vậy trong 1 giây thì 1/T dao động phải được thực hiện. Tần số dao động v = 1/T, là nghịch đảo của chu kỳ, trong hệ SI nó được đo bằng héc, ký hiệu là Hz (gọi theo tên nhà vật lý Hertz). Đại lượng  là tần số vòng, nó tương ứng với số lượng dao động trong khoảng thời gian  giây. Thể hiện bằng số thì nó bằng vận tốc góc quay với chu kỳ T. Sự trùng hợp này không phải là ngẫu nhiên: khi chuyển động đều trên đường tròn thì hình chiếu của một điểm lên một đường kính bất kỳ (“bóng” của nó) thực hiện các dao động điều hòa.

Chu kỳ dao động điều hòa T(do đó cả tần số v) được xác định một cách đơn trị bởi các tính chất vật lý của hệ. Ví dụ từ các phương trình dao động (2) và (6) ta thấy rằng:

đối với quả dọi treo vào lò xo và

đối với con lắc toán học.

Tính chất quan trọng nhất của dao động điều hòa là tính đẳng thời, tức là tính độc lập của chu kỳ đối với biên độ và pha ban đầu. Chính tính chất này cho phép sử dụng con lắc trong những chiếc đồng hồ để đo những khoảng thòi gian bằng nhau.

Các vật có thể nằm lâu trong trạng thái bền vững - trạng thái tĩnh hay trạng thái chuyển động - song do những tác động ngẫu nhiên không thể tránh được nên vật sẽ ra khỏi trạng thái này: chúng sẽ dao động. Những bức tường của tòa nhà rung rinh, con người khẽ đung đưa khi đứng hoặc đi mà vẫn giữ cân bằng; những người đạp xe đạp buộc phải theo hình sin để khỏi ngã, không khí bị âm thanh choán đầy cũng dao động, biển và hồ dao động… Những dao động bao quanh ta từ mọi phía, ta không thể chạy trốn khỏi chúng được, đó là một kiểu quá trình phổ quát của thiên nhiên.

KHAI TRIỂN FOURIER

Những dao động điều hòa chính là sự lý tưởng hóa các dao động thực, giống như những khái niệm ''chất điểm'', ''vật rắn tuyệt đối'', ''khí lý tưởng''. Chúng có một giá trị đặc biệt vì người ta phát hiện ra rằng một sự chuyển động tuần hoàn bất kỳ có thể được biểu thị dưới dạng tổng các dao động điều hòa với các tần số bội no). Định lý tuyệt diệu này đã được nhà toán học và vật lý học người Pháp là Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) chứng minh năm 1807.

Hàm f(t) với chu kỳ T được khai triển ra các thành phần điều hòa như sau:

   (1)

trong đó  các hệ số (a₀, a₁, a_2,...) và (b₀, b₁, b₂,…) được xác định nghiêm ngặt bằng cách lấy tích phân theo hàm f(t) với tập hợp đầy đủ các hệ số này xác định một cách đơn trị hàm ban đầu, và được gọi là phổ của hàm này. Khi tăng số số hạng trong biểu thức (1) thì tổng ở vế phải ngày càng khác ít hơn so với hàm ban đầu f(t). Trong quyển sách nổi tiếng ''Lý thuyết giải tích về nhiệt'' xuất bản năm 1822, Fourier đã xây dựng rất chi tiết phương pháp của mình để giải các bài toán vật lý khác nhau - đó là phương pháp khai triển Fourie.

Mỗi một hàm tuần hoàn đều có phổ riêng - đó là tập hợp các hệ số Fourier. Ví dụ, âm thanh của tiếng nói có tần số như nhau thì có cùng một cao độ, nhưng vì n người phát âm khác nhau, nhanh chậm khác nhau, cho nên âm sắc của chúng sẽ khác nhau. Điều đó xảy ra vì ứng với các âm khác nhau là những tập sóng hài bậc cao khác nhau người ta gọi các số hạng trong chuỗi Fourier với các tần số , khi n > 1, như vậy). Nói riêng? nếu các hệ số của tập các sóng hài ta đưa vào bộ nhớ của máy tính, thì máy sẽ nhận biết tiếng của người phát âm (khi phân tích phổ của âm thanh) và, ví dụ, cánh cửa của ô tô sẽ mở ra theo lệnh (như ''Vừng ơi, mở ra!'').

Nghiệm tổng quát của phương trình dao động điều hòa cũng có thể được biểu thị dưới dạng khai triển Fourier:

trong đó chỉ có hai hệ số khác không đó là  và . Đại lượng của chúng được xác định bởi pha dao động ban đầu .