CÁC SAI SỐ NGẪU NHIÊN
Bây giờ ta có thể chuyển từ lý thuyết sang thực nghiệm vật lý. Ta giả định rằng đại lượng ngẫu nhiên cần đo là tuân theo phân bố chuẩn mà thông số chính của nó (kỳ vọng toán học của nó) là điều ta phải tìm ra Luồng thực nghiệm. Làm Được việc đó không phải đơn giản vì rằng rất khó mà tính toán được: số phép đo chẳng thể là vô tận và về các đặc trưng của phân bố theo mẫu - tập hợp các dữ liệu thực nghiệm, ta chỉ có thể đoán nhận mà thôi. Bởi vậy chỉ có thể tính được giá trị trung bình theo mẫu và phương sai theo mẫu. Đối với n phép đo, mỗi một phép đo cho giá trị xi, giá trị trung bình theo mẫu - tập hợp các dữ liệu thực nghiệm, ta chỉ có thể đoán nhận mà thôi. Bởi vậy chỉ có thể tính được giá trị trung bình theo mẫu và phương sai theo mẫu. Đối với n phép đo, mỗi một phép đo cho giá trị xi, giá trị trung bình theo mẫu
(đó là trung bình số học quá quen thuộc) còn phương sai hay bình phương độ lệch tiêu chuẩn theo mẫu
bình phương trung bình của độ lệch khỏi giá trị trung bình).
Chúng gần với các giá trị đúng của M và D đến mức nào?
Khi đo, xác suất xảy ra độ lệch lớn của mỗi kết quả thu được khỏi kỳ vọng toán học (sai số của phép đo này) sẽ càng cao khi phương sai trong phân bố của đại lượng đo càng lớn. Nhưng nếu tiến hành nhiều phép đo thì hầu như chắc chắn chúng đều nằm tản mạn quanh kỳ vọng toán học. Bởi vậy, sự ước lượng tốt nhất cho kỳ vọng toán học là giá trị trung bình các kết quả đo của mẫu, còn sự ước lượng phương sai được xem là phương sai của mẫu. Số các phép đo được thực hiện càng lớn thì sự ước lượng phương sai tìm được bằng thực nghiệm càng gần với các giá trị đúng.
Nếu tiến hành nhiều chuỗi thí nghiệm, mỗi lần đều gồm n phép đo và tìm phân bố của các giá trị trungbình, thì thấy rằng chúng cũng tuân theo phân bố chuẩn. Tuy nhiên phương sai của phân bố này nhỏ hơn phương sai trong phân bố của chính đại lượng ngẫu nhiên n lần. Bởi vậy độ lệch tiêu chuẩn của giá trị trung bình đặc trưng cho độ lệch khả dĩ của trung bình số học tìm được khỏi giá trị đúng (kỳ vọng toán học khi tiến hành n phép đo bằng
Kết quả cuối cùng của các phép đo được ghi dưới dạng 
, khoảng (
) được gọi là khoảng tin cậy. Có tới 68% số trường hợp có kỳ vọng toán học rơi vào khoảng này (giá trị này được gọi là mức tin cậy.
Nếu cần có độ tin cậy lớn vào việc kỳ vọng toán học nằm ở trong khoảng tin cậy người ta nhân sai số chuẩn với hệ số phụ thuộc vào mức tin cậy.
Ta có thể rút ra được một kết luận lý thú sau khi phân tích ảnh hưởng của các sai số ngẫu nhiên tới các phép đo của hai nguồn độc lập với nhau. Để tính sai số cuối cùng giải pháp đơn giản nhất là cộng các độ lệch tiêu chuẩn ở hai nguồn đo – song điều đó không thích hợp, dưới đây ta sẽ thấy vì sao như vậy. Ta hãy tưởng tượng một xạ thủ đang ngắm vào một chiếc bia. Xạ thủ không được giỏi giang cho lắm bởi vậy tay anh ta hơi run run (do vậy thước ngắm bị dịch chuyển từ phải sang trái) còn đầu anh ta lắc lư (thước ngắm lên xuống). Nếu mỗi một trong các nhân tố này làm cho viên đạn rơi vào bia bị tản mạn theo chiều ngang một đoạn 
và theo chiều thẳng đứng một đoạn 
y theo cách riêng của mình thì khi chúng cùng đồng thời tác động, độ tản mạn sẽ tăng lên đến giá trị 
. Quy tắc này cũng áp dụng quy tắc này cũng áp dụng cả cho các sai số gây ra bởi các nguyên nhân không phụ thuộc vào nhau: không phải các độ lệch tiêu chuẩn được cộng lại mà là các phương sai của các phân bố:
Dz = Dx + Dy
QUY LUẬT CỦA CHUYỂN ĐỘNG NGẪU NHIÊN
Sẽ rất thú vị nếu ta theo dõi xem chiều rộng của miền đi lại (với xác suất lớn nhất) thay đổi như thế nào trong quá trình anh ta dạo chơi trong công viên.
Chiều rộng của miền này (khoảng cách tới đường chéo công viên) tỉ lệ với độ lệch bình phương trung bình, nghĩa là căn bậc hai của số các ''ô công viên'' đã được đi qua. Thành ra nếu cho vào công viên một đám đông các khách bộ hành có vận tốc đi giống nhau, thì kích thước của đám người này sẽ tăng tỉ lệ với căn bậc hai của thời gian dạo chơi. Tương tự đường kính của một giọt mực thả trong nước cũng lan tỏa như vậy: bởi vì chuyển động của các phân tử mực là hiện tượng chúng đi lang thang một cách ngẫu nhiên giữa các phân tử nước.
