CỘI NGUỒN CON SỐ AI CẬP CỔ ĐẠI VÀ LƯỠNG HÀ
Các hệ số
Thiên niên kỷ thứ III Tr. CN là thời kỳ xuất hiện dần từng bước một quan niệm trừu tượng về số tất cả vùng Lưỡng Hà lẫn Ai Cập. Thoạt tiên, mỗi số gắn liền với một hệ thống đơn vị nhất định. Ví dụ ''bốn'' trong ''bốn'' con cừu và trong “bốn lượng mễ cốc” không được viết cùng một ký hiệu.
Ngoài ra, các hệ đơn vị khác nhau hoàn toàn không có sự liên hệ với nhau. Quan hệ giữa số đo diện tích với số đo chiều dài chưa được thiết lập, vì người ta chưa biết tính diện tích bằng tích của chiều dài và chiều rộng.
Nhưng riêng việc viết các số, tức là ghi lại lâu dài các số đo lường, đã cho phép rút ra những điều khái quát và lập ra những biểu đồ. Hai nền văn minh cổ xưa ấy đã ra sức khai thác khả năng này trong khoảng 1000 năm và đến cuối thiên niên kỷ thứ III Tr.CN, các thư lại Ai Cập và Sumeri đã học được cách tính diện tích và thể tích từ các độ dài; cách chia khẩu phần cho thợ, cách ước tính thời gian cần thiết cho một công việc nhất định tuỳ theo khối lượng công việc, cách tính số người làm và nhịp độ lao động. Điều đó cho phép họ đạt tới một trình độ trừu tượng cao hơn và dần dần tách rời con số khỏi đơn vị mà nó áp dụng.
Sang đầu thiên niên kỷ thứ II Tr.CN, cả người Ai Cập lẫn người Lưỡng Hà đều đã phát triển thành công những hệ đếm có mức độ trừu tượng ngang nhau, tuy họ chọn hai con đường khác nhau để thể hiện các con số. Như hầu hết các xã hội hiện đại, người Ai Cập dùng hệ thập phân: sau chín đơn vị là chuyển sang hàng thập phân cao hơn. Ví dụ sau chín ''một'' là một ''mười”, sau chín ''mười'' là một ''trăm'', v.v. . . Nhưng khác với các hệ đếm hiện đại, hệ số của họ được viết theo cách ''cộng'', nghĩa là các số đơn vị, số chục và số trăm được biểu đạt bằng những ký hiệu khác nhau và những ký hiệu ấy được lặp lại bao nhiêu lần là tuỳ theo yêu cầu.
Người Lưỡng Hà lại xây dựng một hệ đếm mà cơ số là 60. Những ký hiệu dùng để chỉ các số được lặp lại sau số 59, giá trị thực tế được xác định vị trí của ký hiệu trong tổng thể con số. Vậy là họ đã phát triển hệ đếm đầu tiên được biết.
Công việc đào tạo thư lại
Sử dụng các số đòi hỏi một tri thức đặc biệt được giảng dạy tại các trường ra đời cùng thời với chữ viết. Ngoài ra, chúng ta còn biết rằng việc học toán được bắt đầu sớm hơn trong quá trình học tập của học sinh, song song bới việc học đọc và học viết. Cũng như bây giờ, ngay từ thời đó toán học đã được coi là một môn ''hắc búa'' nhất. Vào khoảng năm 2000 Tr.CN, một bài tụng ca Vua Shulgi, thuộc triều Ur thứ III ở khu vực Lưỡng Hà đã trở thành một bài mẫu dùng làm bài tập ở trường trong năm trăm năm. Trong tài liệu ấy, nhà Vua khoe học vấn của mình và kiêu hãnh tuyên bố: "Ta biết trừ và cộng một cách hoàn hảo, ta (giỏi) đếm và tính”.
Hơn một nghìn năm sau, Assourbanibal, Vua nước Assyrie, cũng khoe những điều tương tự trong một bài tụng ca về mình: "Ta có thể tìm ra những số đảo và những tích phức tạp không có trong các bảng”.
Một thư lại trẻ tuổi phải đi qua con đường như thế nào để trở thành một ''nhà toán học'' tại Ai Cập Cổ đại hoặc khu vực Lưỡng Hà? Thư lại đó chắc chắn phải là con trai. Vì con gái tuy không bị công khai gạt ra khỏi ngoài diện đào tạo thư lại, song không thấy được nói đến trong các tài liệu. Người con trai đó trước hết đến trường, ở đó con cái các nhà giàu có và quyền thế học hành cùng với đám trai trẻ gia thế hèn kém hơn - những người này coi học hành là một trong nhiều phương tiện duy nhất để leo lên các thang bậc xã hội.
Viên thư lại tương lai được dạy những gì trong thời gian đi học kéo dài ít nhất 10 năm? Những bài tập ở trường và những văn bản toán học còn lại đến ngày nay, nhất là những thứ gọi là các trò ''giao đấu giữa các thư lại” cung cấp cho ta một cái nhìn sơ bộ. Ví dụ, trong một văn bản ở Lưỡng Hà, một thư lại khoe với đồng nghiệp thành công của mình như sau:
Tôi muốn viết ra những bảng:
Bảng (đong) từ 1 đến 600 gur yến mạch
Bảng (cân) từ Ixiclơ đến 20 min bạc
Và những hợp đồng cưới xin mà người ta đem đến cho tôi,
Những hợp đồng buôn bán...
Bán nhà cửa, ruộng đồng, nô lệ,
Những vật thế chấp bằng bạc, những hợp đồng lĩnh canh, hợp đồng trồng cọ. . .
Và cả những bản nhận con nuôi, tôi biết viết tất cả.
Trong một văn bản Ai Cập tiêu biểu, một thư lại đã thách thức một đồng nghiệp như sau:
''Anh đến đây lải nhải với tôi về chức trách của anh, tôi sẽ phơi trần sự huênh hoang của anh khi anh được giao nhiệm vụ đầu tiên. Tôi sẽ chỉ ra sự láo xược của anh khi anh nói. "Tôi là thư lại, người chỉ huy đám thợ”.
Xây một đoạn đường dốc dài 730 cuđê rộng 55 cuđê, có 120 khoang chứa đầy gỗ và sậy, đoạn đường này đo tới đỉnh cao 60 cuđê, 30 cu đê ở giữa, mặt nghiêng 15 cuđê và đáy 5 cuđê. . . Hỏi cần bao nhiêu gạch?
Tất cả thư lại đều có mặt, nhưng không ai biết cách tính. Họ nhờ đến anh và nói. ''Anh bạn ơi, anh là một thư lại tài giỏi. Tính nhanh lên hộ chúng tôi, vì danh tiếng của anh... Đừng để người ta nói”. Có những việc anh ta không biết. Hãy trả lời đi. Cần bao nhiêu gạch? Mỗi khoang (dài) 30 cu đê và rộng 7 cuđê”.
Nhưng những văn bản này mang tính văn học nhiều hơn toán học. Nói chung, các sách giáo khoa còn truyền lại đến nay đã có từ nửa đầu thiên niên kỷ thứ hai hoặc cuối thiên niên kỷ thứ nhất Tr.CN, thời kỳ bá chủ của Hy Lạp - La Mã. Các văn bản này chia làm hai loại: loại bảng và loại bài toán. Một trong những ví dụ tiêu biểu của loại thứ nhất là bảng các căn bậc hai của Babylone đầu thiên niên kỷ thứ hai Tr. CN. Cách lập bảng có hệ thống và tổ Chức này cho thấy thời bấy giờ đã đạt được một trình độ trừu tượng hoá cao. Người thư lại phải làm gì khi cần khai căn bậc hai? Nếu không tra được trực tiếp trong bảng thì có thể suy ra từ các giá trị gần đúng. Đó là một cách làm phổ thông trong hầu hết các nền văn hoá, kể cả ở phương Tây cho đến một thời kỳ khá gần đây. Người Babylone và người Ai Cập cũng tính như vậy với các bảng cửu chương, bảng căn bậc hai và bảng các tổng phân số của họ.
Loại văn bản toán học thứ hai đặt ra các bài toán. Ví dụ dưới đây lấy ra từ văn bản Ai Cập viết trên giấy chỉ thảo vào giữa thiên niên kỷ thứ hai Tr.CN:
“Có một Kim Tự Pháp cạnh dài 140 (cuđê), độ dốc là 5 bàn tay 1 ngón tay (tên một cuđê). Chiều cao của nó là bao nhiêu?”
Bài toán cần giải được đặt ra ngay từ đầu. Các yếu tố của bài toán là những số cụ thể chứ không phải là những biến số trừu tượng. Cách giải được tiến hành từng bước một cho đến lời giải. Mỗi bước suy ra từ kết quả đạt được trong bước trước đó hoặc từ một dữ kiện cung cấp ngay từ đầu trong đề bài.
Cách giải không được biện minh hoặc giải thích. Tuy thiên, dạng của nó cũng khá rõ ràng để học trò có thể áp dụng vào bất kỳ bài toán nào cùng loại. Ngoài ra, những bài toán này thường được tập hợp sao cho có thể trực tiếp áp dụng các phương pháp dạy trong bài toán này vào những trường hợp khác. Thí dụ, bài toán trên đây tiếp nối một bài toán tính độ dốc của một Kim Tự Tháp khi biết chiều dài và chiều cao, rồi tiếp nối nó là một bài toán tính đô dốc của một hình nón.
Tuy nhiên, không phải bài toán nào cũng cụ thể như vậy. Các bài tập ở nhà trường chủ yếu nhằm dạy cho viên thư lại tập sự các kỹ thuật toán học để giải các bài toán. Mục đích chính là rèn luyện kỹ thuật chứ không phải là ứng dụng thực hành. Do đó, nhiều bài toán có vẻ ''thực hành'' trong các văn bản ấy lại rất xa rời thực tế. Ví dụ, trong một tấm bảng ở Babylone có bài toán đo một thửa ruộng bằng một cái sào gãy, và trong một tài liệu của Ai Cập, một thư lại phải tính số lượng ban đầu của một đàn gia súc dựa trên số bò cái được dùng để trả thuế cho đàn gia súc. . .
Ở đây ta thấy rõ mục đích sư phạm của bài toán. Ngoài ra, các bài toán này còn là một cách thức đề cập vấn đề trừu tượng hoá và khái quát hoá trong toán học. Không đi theo con đường dùng một hệ ký hiệu có ''cấp độ khái quát hoá'' tăng dần, cách đề cập của người Babylone và Ai Cập là tạo ra một mạng lưới các ví dụ tiêu biểu cho phép giải bằng ngoại suy bất kỳ bài toán mới nào.
Ta có thể thấy một cách tiếp cận hệt như vậy trong các khoa học cổ khác như y học, chiêm thuật và thiên văn học. Tất cả những tri thức vừa kể trên được người Ai Cập và người Lưỡng Hà coi như là một lĩnh vực ''thực hành hợp lý'' đặc biệt.
''Nhà toán học'' một từ xa lạ
Rất nhiều nguồn tài liệu - các bản tính toán danh sách các nghề nghiệp, những đoạn đề cập trong các tài liệu văn học và lịch sử - cho phép ta theo dõi sự nghiệp của viên “thư lại” khi mới bước vào nghề sau thời gian đào tạo. Ta sẽ không thể tìm thấy trong đó bất kỳ chỗ nào nói đến ''nhà toán học'' theo nghĩa của từ đó ngày nay, tức là một người làm việc trong một cộng đồng các nhà nghiên cứu được thừa nhận để mở rộng hiểu biết của chúng ta về các đặc tính của các số và chữ số. Từ ''nhà toán học'' không có trong các ngôn ngữ cổ ở Lưỡng Hà và Ai Cập.
Như vậy, có hai con đường mở ra trước mắt anh chàng thư lại trẻ tuổi. Anh ta có thể trở thành thầy dạy toán và đề ra những bài toán mới cho thế hệ học trò kế tiếp. Qua đó anh ta sẽ góp phần hoàn thiện công cụ toán học thời mình.
Anh ta cũng có thể trở thành một viên kế toán - người dùng vào việc tính toán nhân công, khẩu phần, đất đai và mễ cốc. Sự có mặt khắp nơi của các thư lại và lao động tỉ mỉ, chuyên cần của họ phục vụ cho chủ là các bậc Vua chúa hay các cá nhân, được miêu tả với nhiều chi tiết trên các bức bích hoạ Ai Cập và phù điêu Assyrie. Họ có vẻ giữ một vị trí của kẻ phục dịch nhưng được ưu đãi. Cũng như các đồng nghiệp của họ đi vào nghề giảng dạy, họ không phải là những người chi phối vận mệnh của các xã hội cổ xưa kia mà họ phục vụ những người cai quản các xã hội ấy; đến mức được ghi lại thành bất tử, trên mặt tường các cung điện của chủ họ như những biểu tượng dễ thấy của sự tập trung quyền lực và của cải mà họ ra sức tính toán.
JAMES RITTER
