Nội dung

CỰC TIỂU VÀ KHÔNG LÀ MỘT PHẢI KHÔNG?

Thế nào là cực tiểu? Chúng ta xem một ví dụ nhỏ, hàm số f(x)= , khi x càng lúc càng lớn, giá trị của hàm số càng tiến dần đến 0. Chúng ta nói rằng giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) là khi x  ( “” biểu thị tiến đến).

Thông thường, nếu hàm số f(x) khi xx_o (hoặc x) có giá trị nhỏ nhất là 0 (nhớ rằng limf(x) = 0), khi đó hàm số được gọi là có giá trị nhỏ nhất khi xx_o hoặc (). Nói một cách khác đơn giản hơn, lấy 0 làm lượng giới hạn là giá trị nhỏ nhất. Từ đó, chúng ta sẽ thấy giá trị nhỏ nhất làm một lượng biến đổi không ngừng, không ngừng nhỏ hơn nữa, càng ngày càng gần tới 0. Ví dụ, f()= x - 1, khi x1 cũng là giá trị nhỏ nhất.

Vậy thì giá trị nhỏ nhất và những số rất nhỏ, như 1/1000000 là một à? Đương nhiên là không rồi. Bởi vì, giá trị nhỏ nhất là một hàm số như thế này, khi xx_o hoặc (x), giá trị tuyệt đối của hàm số này nhỏ nhất tại một số dương  mà ta lấy bất kỳ, những số còn lại nhỏ hơn cũng không thể có tính chất này, luôn có những số nhỏ hơn là tồn tại. Ví dụ  tương đương với l/1000000, vậy thì 1/1000000 ở trên không thể nhỏ hơn số  mà ta cho được.

Vậy thì cực tiểu và 0 là một? Hiển nhiên 0 là một số xác định, vì thế là một lượng xác định, mà ở trên chúng ta đã biết giá trị nhỏ nhất là một đại lượng biến đổi. Nhưng 0 lại là số duy nhất làm giá trị nhỏ nhất, bởi vì nếu f(x)  0 , vậy thì với số  bất kỳ mà ta chọn với  > 0 ta luôn có  < . Vì thế bản thân 0 cũng chính là một lượng nhỏ nhất rồi, nhưng giá trị nhỏ nhất thì không nhất thiết là 0.

Xem xét phép tính, chúng ta đều biết, 0 có thể tham gia vào phép cộng, trừ, nhân, chia, nhưng không thể là số chia hoặc mẫu số. Giá trị nhỏ nhất cũng có 4 phép tính, điều khác biệt là ở chỗ giá trị nhỏ nhất có thể làm số chia hoặc mẫu số. Phép cộng, trừ, nhân của 2 giá trị nhỏ nhất vẫn là giá trị nhỏ nhất, những phép chia của 2 giá trị nhỏ nhất lại có một vài tình huống sau. Ví dụ ,  (loại = 0), mà lim  tồn tại, vậy thì lim  có thể là hằng số, cũng có thể là giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất.

Nếu Lim  = 0 thì giá trị nhỏ nhất của >

Nếu  Lim  =  thì giá trị nhỏ nhất của giá trị nhỏ nhất của   <

Nếu Lim  = c  (0) thì giá trị nhỏ nhất của  =; đặc biệt khi c= 1 thì giá trị nhỏ nhất của  và là như nhau.

Vì giữa các giá trị nhỏ nhất cũng có số lớn số nhỏ nên có thể thực hiện được các phép tính.