CHUYỂN ĐÔNG ĐỀU THEO ĐƯỜNG TRÒN
Như mọi người đều biết một năm trên Trái Đất xấp xỉ 365 ngày - là chu kì quay của Trái Đất quanh Mặt Trời. Chu kì T là thời gian để hoàn thành một vòng quay. Chu kì T được xác định đơn giản nhất cho trường hợp chuyển động tròn đều, vừa đúng bằng chiều dài đường tròn l = 2
chia cho vận tốc đều v:
vận tốc v trong đó được gọi là vận tốc dài, là đoạn đường vật đi được trong một đơn vị thời gian. Ngoài vận tốc dài, vật chuyển động tròn còn được đặc trưng bằng vận tốc góc 
- là đại lượng biểu thị góc 
do vectơ bán kính quét được trong đơn vị thời gian, và bằng: = 
. Vì tổng số góc đầy là 2
(đo bằng rađian) cho nên vận tốc góc liên quan với vận tốc dài v như sau:
Trong chuyển động đều theo đường tròn thì chỉ có môđun vận tốc dài là không đổi, còn hướng của nó thì thay đổi liên tục nghĩa là gia tốc của nó luôn khác không. Gia tốc này không làm thay đổi môđun vectơ vận tốc dài, mà làm thay đổi hướng của nó. Cứ hết một vòng, tức là sau mỗi chu kì chuyển động, thì hướng của vectơ vận tốc dài đều quay được 2rađian. Bán kính đường tròn quỹ đạo R càng lớn thì đoạn đường dài 2 (để vật bị đổi hướng 
rađian) càng lớn, gia tốc gây đổi hướng càng nhỏ (R lớn vô cùng thì chuyển động giống như thẳng đều và gia tốc ấy bằng không). Một cách định tính có thể hình dung gia tốc 
tỷ lệ thuận vận tốc v và tỷ lệ nghịch bán kính quỹ đạo là a = v/R (m/s)/m = l/s. Để đại lượng này có đơn vị của gia tốc, tức m/s2, thì phải viết lại biểu thức ấy thành:
Gia tốc là đại lượng vectơ, có môđun như biểu thức trên nhưng về hướng và chiều của nó thì sao? Hướng và chiều của nó không thể cùng chiều hay ngược chiều với vận tốc dài 
, vì khi đó nó sẽ làm tăng hay giảm môđun của v. Cách duy nhất là gia tốc phải có hướng vuông góc với vectơ v và hướng về tâm của đường tròn quỹ đạo.
Từ đó ta nhận xét được về nguyên nhân chuyển động quay của Trái Đất cũng như các hành tinh khác xung quanh Mặt Trời. Trước Galilei và Newton, nguyên nhân này (lực) được gán cho vận tốc có sẵn của vật. Nhưng cách gắn lực với vận tốc theo hướng chuyển động của Trái Đất chẳng đem lại kết quả gì vì chẳng có cái gì ở hướng đó gây ra lực. Còn cách Galilei hiểu về quán tính, được bổ sung thêm hiểu biết về sự gắn lực với gia tốc của Newton đã buộc người ta nhìn về tâm điểm quỹ đạo - là nơi có Mặt Trời - thì vấn đề trở nên sáng tỏ: có thể coi Mặt Trời là nguồn lực khiến Trái Đất chuyển động. Newton (và độc lập với ông, cả Huygens) đã nhận thức ra vai trò gia tốc hướng tâm trong chuyển dộng tròn đều. Thiên tài Newton đã nhận ra sự giống nhau của hai sự kiện khác nhau ''một trời một vực'': Mặt Trăng quay quanh Trái Đất và quả táo rơi xuống mặt đất. Newton đi thêm một bước: Cả hai chuyển động ấy có cùng một nguyên nhân: đó là do gia tốc hướng thẳng đứng xuống dưới (tới tâm Trái Đất) Ông đã đi tới phát minh vĩ đại: định luật vạn vật hấp dẫn.
VÔ HƯỚNG VÀ VECTƠ
Việc chia các đại lượng vật lý thành vô hướng và vectơ được đề xuất đầu tiên bởi nhà cơ học và toán Ailen W. R. Hamilton (1805-1865), tuy ban đầu chúng được ông xếp chung trong loại quy phạm thao tác toán học mang tên là ''quaternion'' (bộ tứ). Chính J. C. Maxwell (1831-1879) là người đánh giá cao quy phạm của Hamilton, khi nhận xét ''giá trị của ý tưởng về vectơ là không thể nói hết được'' và ông đã áp dụng thành công các quy phạm tính vectơ cho bài toán vật lý các hiện tượng điện từ. Trong tác phẩm bất hủ ''Chuyên luận về điện học và từ học'' ra đời năm 1873, Maxwell từng viết: ''Một trong những đặc điểm quan trọng nhất của phương pháp Hamilton là việc chia các đại lượng thành vô hướng và vectơ. Đại lượng vô hướng có thể hoàn toàn xác định bằng một con số, và giá trị đó không phụ thuộc hướng của các trục tọa độ. Còn vectơ, hay đại lượng có tính hướng, thì cần có một bộ ba con số, gắn liền với hướng của ba trục tọa độ mới là xác định''.
Các đại lượng vô hướng không chứa đựng khái niệm về chiều hướng không gian: Thể tích của hình thể, khối lượng và năng lượng một vật thể, áp suất thuỷ tĩnh ở một điểm trong chất lỏng, thế năng của vật thể tại một điểm trong không gian,... đều là đại lượng vô hướng. Đại lượng vectơ có độ lớn và tính hướng, thành thử nếu đổi hướng của nó sẽ dẫn đến đổi cả dấu của nó. Độ dời, có điểm đầu và điểm cuối, là một đại lượng vectơ điển hình, và cũng nhờ nó mà ra đời tên gọi ''vectơ'' (vectơ là chữ Latinh có nghĩa là “mang ”hay “chuyển tải”).
Sau này phép tính vectơ còn được phát triển bởi các nhà vật lý Mỹ J. W. Gibbs (1839-1903) và nhà khoa học Anh O.Heaviside (1850-1925)... và hình thành nên đại số vectơ, với những luận điểm cơ bản như sau:
1. Một vectơ bất kì được đặc trưng bởi ba trị số, là ba hình chiếu ax, ay, az của lên các trục tọa độ X, Y Z. Khi chuyển đổi hệ tọa độ thì các trị số này cũng biến đổi theo.
2. Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài (môđun hay giá trị tuyệt đối) song song và hướng về cùng một phía.
3. Tổng của hai vetơ 
là vectơ được xác định bằng quy tắc hình tam giác hoặc hình bình hành.
4. Khi nhân vectơ với một số k thì ta được một vectơ lớn hơn 
lần về độ dài và song song cùng chiều với (nếu k là số dương, k > 0) hay song song ngược chiều (nếu k là số âm, k < 0).
5. Tích vô hướng 
của hai vectơ và 
là một con số có giá trị bằng tích số hai môđun a và b nhân với cosin của góc tạo bởi chúng: a.b = abcos.
6. Tích vetơ của hai vectơ và là một vectơ có phương vuông góc với cả
lẫn , có hướng và chiều xác định theo ''quy tắc vặn nút chai'' - theo hướng tiến của cái vặn nút chai khi quay từ sang 
theo góc bé nhất, và có môđun bằng tích số hai môđun nhân với sin của góc tạo giữa chúng: 
(trùng với trị số diện tích hình bình hành dựng trên các vectơ nhân tử a và b).
Những kí hiệu đề ra ở trên chưa được chấp nhận ngay. Chẳng hạn ký hiệu chấm hay hai vạch chéo để chỉ tích các vectơ (do Gibbs đề xuất) từng bị nhiều nhà toán học chỉ trích. Họ đề nghị dùng các kí hiệu S.ab, v. ab, a^b,... để chỉ tích vô hướng hay tích vectơ, có lẽ là để ''có vẻ toán học hơn''! Nhưng kí hiệu của Gibbs vẫn ngày càng phổ biến, đến nỗi nhà toán học Đức Felix Klein phải thừa nhận là không hiểu nổi vì sao mấy kí hiệu Gibbs lại ''sâu rễ bền gốc'' đến thế. Thực ra câu trả lời có thể rất đơn giản: các nhà vật lý ưa thích các kí hiệu ấy.
TÍNH GIA TỐC HƯỚNG TÂM
Vectơ bán kính của một hạt có thể viết dưới dạng sau đây: 
trong đó 
và 
là các vectơ đơn vị cho biết chiều hướng của các trục tọa độ x, y. Trong chuyển động đều theo đường tròn thì:
x = rcos = rcost (1)
y = rsin = rsint (2)
Để nhận biết gia tốc, trước tiên ta biểu diễn nó dưới dạng:
(3)
Ta sẽ tìm được hình chiếu của gia tốc ax và ay nếu lấy đạo hàm hai lần các hệ thức (1) và (2); sau lần lấy đạo hàm đầu tiên, ta xác định được vận tốc; sau lần lấy đạo hàm lần thứ hai ta được gia tốc:
ax = - r
= - 
ay = - r
= 
Thay các biểu thức trên vào công thức (3) ta dễ dàng nhận thấy rằng
Từ đó có thể kết luận rằng gia tốc của chuyển động tròn đều có chiều ngược với chiều của vectơ bán kính r, tức là luôn luôn chỉ vào tâm của đường tròn quỹ đạo. Cũng vì thế nó có tên gọi là gia tốc hướng tâm.
PHÂN TÍCH GIA TỐC THEO CÁC TRỤC TỰ NHIÊN
Ta hãy xem xét một hạt chuyển động theo đường cong tuỳ ý. Giả sử vào thời điểm đã cho hạt ở vị trí A. Ta để ý tới hai điểm B và C, ở về hai phía khác nhau của A. Ba điểm này bao giờ cũng xác lập một mặt phẳng. Khi hai điểm B và C cùng tiến gần mãi tới A, thì mặt phẳng CBA sẽ tiến đến tiếp xúc với quỹ đạo tại A, và nó được gọi là mặt phẳng mật tiếp đường cong quỹ đạo tại A. Chính mặt phẳng này chứa vectơ gia tốc của vật trong chuyển động theo quỹ đạo cong.
Ta vẽ trong mặt phẳng mật tiếp hai trục, một trục t theo tiếp tuyến của đường cong tại điểm A, một trục kia, n, vuông góc với nó. Vectơ gia tốc được phân tích thành hai thành phần trên các trục ấy:
Sự phân tích này có tên là phép phân tích vectơ gia tốc theo các trục tự nhiên, vectơ gọi là giá tốc tiếp tuyến, nó quyết định sự biến thiên nhanh chậm của môđun vectơ vận tốc. Nếu cùng chiều với vectơ vận tốc, nó làm cho vận tốc nhanh lên, còn nếu ngược chiều thì nó làm cho vận tốc giảm đi. Còn vectơ 
gọi là gia tốc pháp tuyến, luôn vuông góc với vectơ vận tốc và hướng vào tâm cong của quỹ đao, tại điểm đang xét. Nó đặc trưng cho mức độ đổi hướng (nhanh hay chậm) của vectơ vận tốc. Môđun của gia tốc pháp tuyến bằng tỷ số bình phương vận tốc với bán kính quỹ đạo: an = v2/R. Nếu at = 0 thì độ lớn (môđun) của vận tốc không thay đổi và do đó ta có chuyển đều, ví dụ điển hình là trường hợp chuyển động tròn đều, khi đó an chính là gia tốc huớng tâm đã gặp ở trên. Còn khi 
0 thì hướng của vận tốc giữ nguyên không đổi và vì thế chuyển động là thẳng. Chuyển động thẳng gia tốc đều là một trường hợp riêng trong số đó.
