NGUYÊN LÝ TƯƠNG ĐỐI GALILEI
Ngoài đối xứng không thời - gian các định luật tự nhiên còn có đối xứng khác. Người đầu tiên chú ý tới điều này là Galileo Galilei. Ông viết: ''Bạn hãy cùng ai đó tách riêng ra tới một phòng có chỗ thoáng rộng dưới boong một con tàu thuỷ nào đó nhớ mang sẵn theo bạn một số ruồi, bướm và côn trùng nhỏ biết bay nào đó nhốt trong cái buồng đủ rộng với tầm bay lượn của chúng. Giả sử ở đó bạn còn có một bình to đựng nước với các chú cá con bơi lội tung tăng. Bạn hãy treo một cái xô nước nhỏ trên sao cho nó có thể nhỏ từng giọt nước vào một cái bình khác có miệng hẹp ở phía dưới.
Bạn chú ý mà xem, chừng nào con tàu còn đứng yên, thì tất cả các sinh vật nhỏ bé của bạn vẫn bay lượn và bơi lội theo mọi hướng đều như nhau. Giọt nước từ cái xô vẫn rơi vào miệng bình nghe tí tách đều đều. Xin nói thêm là nếu bạn ném các vật nhỏ nhẹ đi đủ mọi hướng khác nhau thì cũng sẽ cảm thấy không phải dùng nhiều hơn ở một hướng nào đó so với hướng khác, nếu khoảng cách như nhau. Hãy chăm chú quan sát tất cả những điều đó, mặc dù trong chúng ta chẳng có ai hoài nghi gì về điều đó. Mọi điều mô tả ở trên rất tự nhiên, là đương nhiên. Bây giờ ta bắt con tàu chuyển động, với vận tốc nào cũng được, miễn là thật đều, thật êm, không lắc lư, không tròng trành. Bạn hãy quan sát kĩ các hiện tượng mô tả trên
kia xem có gì thay đổi khi con tàu đang chạy? Bạn sẽ không thấy có gì khác trước hết. Căn cứ vào những hiện tượng tinh tế ấy bạn không thể biết con tàu đang dừng yên hay đang chạy''. Galilei đơn cử thêm thí nghiệm khác: nếu ném một hòn đá từ đỉnh cột buồm xuống sàn tầu, thì vị trí rơi của nó trên sàn luôn luôn không đổi, dù con tàu dang đứng yên hay đang chạy đều với vận tốc tuỳ ý. Nhiều người cùng thời Galilei lấy làm nghi ngờ lời khẳng định của ông. Thời ấy người ta mặc nhiên tin rằng nếu con tàu chạy càng nhanh thì vị trí rơi của hòn đá sẽ càng xa chân cột buồm. Cần phải làm thí nghiệm để xác nhận chân lý. Nhưng Galilei tuyên bố ông tin tưởng là phải như vậy, không cần phải thí nghiệm, kết quả sẽ đúng như ông nói vì đó là điều tất yếu.
Chín năm sau, vào một ngày đẹp trời năm 1641, tại gần cảng Marseille nước Pháp, nhà vật lý Pierre Gassendi đã bố trí thí nghiệm như thế. Từ đỉnh cột buồm của chiếc thuyền to, trước khá đông người chứng kiến, ông thả đá vài lần (với vận tốc thuyền khác nhau) xuống sàn tàu. ''Hòn đá, lần nào cũng vậy, đều rơi dọc theo cột xuống cùng vị trí trước chân cột'' cho dù khi thuyền chạy với vận tốc lớn nhất có thể đạt được. Sau sự kiện này không ai còn nghi ngờ điều Galilei đã khẳng định.
Như vậy là tất cả các thí nghiệm cơ học được tiến hành giống nhau, cả trong hệ quy chiếu gắn liền Trái Đất, lẫn trong hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều so với nó đều dẫn đến các kết quả hoàn toàn giống nhau. Các hệ quy chiếu này về mặt vật lý là hoàn toàn bình đẳng, không cái nào có ưu thế nổi trội gì hơn cái khác. Điều này có nghĩa là nếu ta có một hệ quy chiếu quán tính, với độ chính xác nhất định, thì tất cả các hệ khác chuyển động thẳng đều so với nó, cũng đều là hệ quán tính với cùng một độ chính xác như nó. Điều Galilei mô tả có giá trị rất cơ bản đối với cơ học, về sau được gọi là nguyên lý tương đối Galilei. Một trong những cách phát biểu của nguyên lý ấy là do Isaac Newton đề nghị, vào năm 1687, đó là: ''Các chuyển động tương đối của vật thể so với nhau diễn ra trong một không gian nào đó, đều như nhau dù không gian ấy đứng yên hay chuyển động thẳng đều (không có sự quay)''. Cách phát biểu ngày nay của nguyên lý này là: ''Các định luật cơ học đều như nhau trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính''. Nghĩa là về nguyên tắc, không thể căn cứ vào hiện tượng vật lý quan sát được để có kết luận liệu hệ quy chiếu quán tính, đứng yên hay chuyển động thẳng đều với vận tốc bao nhiêu. Chẳng hạn khi bạn đang ở trên một toa tàu đóng kín mít, thì dù có thực hiện bất cứ thí nghiệm cơ học nào, bạn cũng không thể xác định được là toa tàu đó đúng yên hay chuyển động thẳng đều so với Trái Đất. Sự nhận biết về trạng thái của hệ quy chiếu phải căn cứ vào những hệ phi quán tính. Chỉ cần con tàu bị hãm lại đột ngột hay thay đổi vận tốc (tức là biến thành hệ phi quán tính), thì các vật rơi từ trên giá hành lý sẽ báo ngay cho ta biết toa tàu chuyển động hay không.
Vào thời Galilei, gần như toàn bộ vật lý đều quy về cơ học nên nguyên lý Galilei cũng mang tính chất cơ học. Đến thế kỉ XIX, nhiều nhà vật lý cho rằng nguyên lý tương đối không còn đúng với các hiện tượng điện và từ. Kết quả là dường như nguyên lý này chỉ đúng với một số hiện tượng tự nhiên và không đúng đối với các hiện tượng khác. Phải đợi đến những công trình của J. H- Poincaré và A. Einstein vào đầu thế kỷ XX mới gỡ bỏ sự phi lý nói trên, mở rộng nguyên lý tương đối cho tất cả các hiện tượng tự nhiên (tuy nhiên để làm việc này, phải đưa cách hiểu mới vào những khái niệm không - thời gian). Hoá ra là không chỉ các định luật cơ học, mà tất cả các quy luật vật lý đều diễn biến như nhau trong tất cả các hệ quy chiếu quán tính khác nhau. Do tính tương đối là gắn liền với các tính chất đối xứng của không - thời gian trong vật lý hiện đại, nguyên lý tương đối thường được gọi là nguyên lý đối xứng mà biểu hiện toán học là các phương trình vật lý không bị thay đổi dạng thức của mình khi chuyển hệ quy chiếu quán tính. Chính điều đó làm cho nguyên lý này trở thành ''công cụ hàng đầu'' của vật lý lý thuyết mỗi khi xây dựng một lý thuyết mới. Tính chất đối xứng, bất biến trở thành tiêu chí để lựa chọn những phương trình đứng giữa rất nhiều phương trình toán học khác nhau được xây dựng trên lý thuyết nhằm mô tả một định luật này khác.
Ta có thể xem xét một ví dụ đơn giản. Xét một hệ gồm có hai hạt. Hạt A tác dụng lên hạt B một lực 
, gây ra cho hạt B một gia tốc 
: theo định luật II Newton thì 
.
Ta thử viết phương trình chuyển động của hạt B theo quan điểm Aristotle: coi lực là nguyên nhân gây ra cho hạt B vận tốc v (chứ không phải gia tốc ): 
với k là một hệ số tỉ lệ nào đó không đổi (đối với hạt đã cho). Nguyên lý tương đối sẽ chỉ ra sự lựa chọn nào giữa hai phương trình?
Thao tác phải làm là ta chuyển hai phương trình sang hệ quy chiếu quán tính khác. Ta đoán nhận được ngay: Trong các hệ quy chiếu quán tính thì lực gia tốc khối lượng đều bất biến, nhưng vận tốc thì biến đổi tuỳ theo hệ quy chiếu. Cho nên phương trình Newton sẽ bất biến. Còn phương trình của ''định luật Aristotle'' thì biến đổi (ở vế phải). Vậy là phương trình có tính đối xứng cần thiết (phương trình Newton trong ví dụ trên) thì thoả mãn được đòi hỏi của nguyên lý tương đối, và là phương trình mô tả đúng hiện tượng vật lý của hệ. Để kiến tạo Vũ Trụ Descartes nói, cần có vật chất và chuyển động. Cả hai thứ ta đều đã có. Thuộc quyền sử dụng của ta còn có cả “sân chơi” khá thuận tiện (là hệ quy chiếu quán tính), chuyển động tương đối với những đặc trưng của nó và các chất điểm… Ta sẽ làm gì với những cái đó? Có vật liệu xây dựng chưa có nghĩa là xây được nhà. Phải biết cách xử lý vật tư nhất thiết phải tuân thủ những quy tắc quy cách của sự hình thành thế giới. Đó lại là chủ đề của những lĩnh vực khác của cơ học.
