KHÔNG CÓ CHUYỂN ĐỘNG
Bước tiếp theo trong sự phát triển học thuyết về không gian và thời gian, và trong việc nghiên cứu những vấn đề về chuyển động đã được thực hiện bởi trường phái triết học Elea (thành phố miền Nam Italia thuộc Hi Lạp thời cổ đại).
Triết học của trường phái này dựa trên ý tưởng do Parmenides (khoảng 540 - 480 tr.CN) đề xuất là không thể có cái ''không tồn tại''. Cái ''không tồn tại, là không có thực và không bao giờ có thể có. Hệ quả của luận điểm này là không thể có vận động, bởi lẽ không có cái gì mới xuất hiện (không có cái để mà từ đó xuất hiện), không có cái gì cũ mất đi (không có chỗ để biến mất), vì tồn tại theo Parmenides là vĩnh viễn bất biến nên không thể nói ''tồn tại'' phát sinh từ ''tồn tại'', hoặc tồn tại bắt nguồn từ ''không tồn tại” cũng như không thể từ ''tồn tại'' biến thành ''không tồn tại''. Ở đây cũng loại trừ cả tính bội đa và tính đa dạng của sự vật. Bởi lẽ trong tồn tại không thể có chỗ cho gián đoạn (vì cái ''không tồn tại'' không thể hiện diện trong ''tồn tại''). Bất kỳ một sự vận động nào của vật thể, cũng như bất kỳ tính đa dạng nào của sự vật và hiện tượng chỉ là sự đánh lừa các giác quan, không phải là chân lý mà chỉ là ý niệm. Chỉ có một cái duy nhất làm nền tảng thế giới: đó lò một thực tại liên tục, thuần nhất và bất biến, giống như một cầu thể. Nó làm đầy không gian thế giới và hiện diện như nhau trong mỗi một phần tử nhỏ nhất của thực tại.
Không gian, với tư cách là cái chứa đựng cái duy nhất nói trên, được các học giả của trường phái Elea coi là thuần nhất, liên tục và bất động. Thời gian cũng liên tục và thuần nhất. Trường phái này cũng phủ nhận khả năng tồn tại của không gian trống rỗng (chân không, bởi vì theo quan điểm của họ thì chân không là hư vô, là không tồn tại, mà đã là cái ''không tồn tại'' thì không thể có và thậm chí không thể hình dung ra nó là cái gì.
Người đương thời trẻ tuổi hơn và cũng là học trò của Parmenides là Zenon (khoảng 490 - 430 trước CN) đã đưa ra những chứng minh lôgic khẳng định rằng không thể có chuyển động. Những chứng minh này được trình bày trong các nghịch lý lôgic nổi tiếng của ông, gọi là các apori (theo tiếng Hi Lạp là ''những luận đề khó lý giải, không có lối thoát, không thể chứng minh được''). Theo sử gia Hi Lạp cổ đại Plutarch (khoảng 45 - khoảng 127), Zenon ''đã thực hành nghệ thuật phản chứng (elenchus) - tức là thông qua mâu thuẫn để dồn đối phương đến tình trạng bế tắc - (tiếng Hi Lạp gọi là ''elenchus'' nghĩa là ''đưa ra mâu thuẫn để vạch trần''). Zenon đã nghĩ ra hơn 40 apori nhưng chỉ còn một số truyền được đến ngày nay trong đó có ''Dichotomia'' (phép phân đôi), ''Mũi tên bay'', ''Achilles và con rùa''. Chẳng hạn trong nghịch lý ''dichotomia'' khẳng định rằng không thể có chuyển động. Để vượt qua một khoảng cách AB nào đó, đầu tiên một người phải đi được một nửa quãng đường đó, tức là đoạn AC. Còn để vượt qua khoảng cách AC anh ta phải đi được một nửa của một nửa, tức là đoạn AD -và cứ như thế đến vô tận. Rốt cuộc lại chúng ta sẽ đi tới kết luận là người đó hoàn toàn không thể rời khỏi vị tên ban đầu bởi lẽ lúc nào cũng có thể đặt ra cho anh ta điều kiện là phải vượt được một nửa của quãng đường nhỏ bao nhiêu tuỳ ý.
Nghịch lý trên đây dựa vào hai định đề: thứ nhất, không gian là một continuum (tập hợp liên tục); thứ hai, chuyển động là quá trình chuyển tiếp từ một điểm này của không gian đến một điểm khác, lân cận với nó. Thế nhưng hai điều kiện này lại không tương thích với nhau. Trong không gian liên tục đối với mỗi điểm không tồn tại một điểm liền kề trực tiếp, bởi lẽ giữa bất cứ hai điểm nào gần nhau bao nhiêu đi nữa thì cũng luôn có vô số điểm khác. Do đó chuyển động, nếu hiểu nó như là sự chuyển tiếp từ một điểm của không gian đến điểm tiếp theo là không thể có về mặt nguyên tắc.
Ý nghĩa cốt lõi của các nghịch lý Zenon là ở chỗ tính gián đoạn, tính bội đa và chuyển động chỉ đặc trưng cho bức tranh cảm tính của thế giới, mà bức tranh này thì rõ ràng là không xác thực. Bức tranh đích thực của thế giới chỉ khám phá được bằng tư duy và những nghiên cứu lý thuyết.
Trong sự phát triển của khoa học về không gian, thời gian và chuyển động các nghịch lý của Zenon đã đóng một vai trò to lớn. Chúng dẫn đến sự khủng hoảng của khoa học cổ Hi Lạp về chuyển động. Nhằm giải quyết những nghịch lý lôgic này, đã ra đời nhiều công trình của các nhà triết học và khoa học nổi tiếng nhất trong các thời kỳ Cổ đại Trung đại và Cận đại như Democritus, Aristotle, Epicurus, Bruno, Descartes, Leibniz, Hume, Kant, Hegel và nhiều người khác. Suy ngẫm về các apori của Zenon thấy rằng nó không chỉ góp phần sáng tạo nên giải tích toán học mà còn cho thấy sự cần thiết phải nghiên cứu sâu sắc hơn cấu trúc và các thuộc tính của không gian và thời gian cũng như các quy luật vận động của vật chất.
KHÔNG GIAN, THỜI GIAN VÀ NHỮNG NGHỊCH LÝ
Ngay từ thời Zenon đã tồn tại quan điểm cho rằng không gian và thời gian không chia nhỏ vô hạn mà được cấu tạo từ những phần tử không thể chia cắt được nữa - đó là các ''nguyên tử của không gian và nguyên tử của thời gian'' (ở thế kỷ XX thì phải gọi đó là các lượng tử không gian và thời gian). Vì trong trường hợp này, không có số lượng vô hạn nào xuất hiện nên có cảm tưởng rằng các apori sẽ được giải quyết. Nhưng trong thực tế mọi việc đều phức tạp hơn.
Theo quan điểm ''lượng tử”, đầu mũi tên đang bay sẽ lần lượt di chuyển từ một ô nguyên tố (không thể chia nhỏ nữa) của không gian (mà ở đó nó đứng yên trong khoảng vài lượng tử thời gian) sang ô nguyên tố khác (ô nguyên tố là ô nhỏ nhất không thể chia cắt được nữa, dưới đây gọi tắt là ô). Để thực hiện bước chuyển này cần một lượng tử thời gian, bởi lẽ đầu mũi tên không thể bằng một cách thức kỳ diệu nào đó lại có thể chuyển dịch tức thời từ vị trí này sang vị trí khác. Ở đây sẽ vô nghĩa nếu đặt câu hỏi đầu mũi tên đang ở đâu, khi nó đã bay khỏi một ô của không gian nhưng lại chưa tới được ô lân cận, vì rằng các lượng tử thời gian và không gian là không thể chia nhỏ hơn nữa nên giữa chúng không thể tồn tại bất cứ một thời điểm trung gian hay một vị trí trung gian nào khác.
Và kết cục là mũi tên không chuyển động vì trong mỗi ô cụ thể của không gian nó đều đứng yên. Còn cái mà con người bằng trực quan cảm tính coi mũi tên là chuyển động, thực ra chỉ là do giác quan đem lại, là ảo giác đối với nhận thức lý tính thì mọi chuyển động đều quy về trạng thái đứng yên. Có vẻ như là nghịch lý ''Mũi tên bay'' đã được giải quyết. Tình huống này cũng giống như khi ta xem phim: trên thực tế là những cảnh quay bất động luân phiên nhau nhưng người xem có cảm giác đó là một bức tranh sống động.
Tuy nhiên ở đây một khó khăn mới lại đang rình rập - đó là nghịch lý ''Các giai đoạn'' còn gọi là ''Sân vận động'': nếu không gian và thời gian cấu tạo từ các nguyên tử thì cái bộ phận sẽ bằng cái toàn thể. Điều này được chứng minh như sau. Giả sử có hai đoàn vận động viên điền kinh chạy ngược chiều nhau với cùng vận tốc, ngang qua một đoàn khác đứng yên. Ta giả định rằng các vận động viên của mỗi đoàn đều ở trong các lượng tử không gian liền kề nhau và thời gian lưu trú ở đó là một lượng tử thời gian. Khi ấy, ví dụ mỗi đoàn vận động viên đang chạy vượt qua hai lượng tử của đoàn đứng yên sau hai lượng tử thời gian thì cùng lúc nó cũng vượt qua bốn lượng tử của đoàn chạy ngược lại. Hỏi rằng thực sự cần bao nhiêu đơn vị thời gian cho sự kiện trên đây? Nếu cũng vẫn là hai đơn vị thì sẽ dẫn đến kết quả là bốn lượng tử không gian đã được vượt qua sau hai lượng tử thời gian. Điều này không thể xảy ra được vì mỗi bước chuyển từ một ô sang ô lân cận chỉ thực hiện được sau một lượng tử thời gian. Còn nếu cho rằng cần bốn lượng tử thời gian thì ta sẽ có đẳng thức 2 = 4, bởi lẽ hai sự việc nêu trên diễn ra đồng thời trong một khoảng thời gian như nhau! Ta thấy rằng trong trường hợp không - thời gian có tính lượng tử thì nghịch lý này không thể hoá giải được.
Bây giờ ta giả sử rằng chỉ có thời gian là lượng tử hoá còn không gian có thể chia nhỏ vô tận. Khi ấy phải chia quỹ đạo của điểm chuyển động thành các đoạn ứng với từng lượng tử thời gian. Tại mỗi lượng tử thời gian điểm chuyển động đó khu trú trong một đoạn xác định và chuyển động với vận tốc bằng tỷ số giữa độ dài của đoạn đó và đơn vị thời gian. Với cách tiếp cận như vậy thì những luận cứ của nghịch lý ''Các giai đoạn'' sẽ không đạt được mục đích vì trong trường hợp này không gian không chia ra thành các phần nhỏ vì mục đích tự thân mà được chia ra để phù hợp với điều kiện của bài toán, tương ứng với định nghĩa vận tốc của vật chuyển động.
Tuy nhiên đến đây Zenon lại đã chuẩn bị sẵn một điều bất ngờ khác - đó là apori “Dichotomia'' (phép phân đôi). Vật thể chuyển động trước khi vượt qua toàn bộ quãng đường phải đi hết một nửa quãng đường và trước đó phải đi qua một nửa của một nửa, tức một phần tư quãng đường và trước nữa là một nửa của một phần tư, tức là một phần tám quãng đường và cứ thế đến vô cùng vì không gian là liên tục. Nếu để đi qua mỗi phần đường cần ít nhất là một lượng tử thời gian tuy không lớn nhưng cũng không phải là nhỏ vô hạn thì để vượt qua một đoạn đường bất kỳ có độ dài cho trước cần có một thời gian lớn vô cùng. Và thế là lại xuất hiện một tình huống bế tắc, không có lối thoát, tóm lại là một apori.
Nghịch lý ''Achilles và con rùa'' lại kết tụ những khó khăn gặp phải trong các nghịch lý khác. Liệu bằng cách nào chàng Achilles chạy nhanh có thể đuổi kịp con rùa bò, nếu trước tiên chàng lực sĩ phải đến được vị trí mà con rùa đã rời đi và khi chàng đến nơi thì con rùa đã bò xa hơn? Chúng ta hãy xem xét tất cả các cách tiếp cận khả dĩ.
1. Giả sử không gian và thời gian cấu tạo từ các nguyên tử (lượng tử hoá).
Trong trường hợp này Achilles và con rùa được tượng hình không phải bằng các điểm (chấm) mà ít ra cũng bằng các đoạn (vạch). Tại thời điểm đoạn nhanh đuổi kịp và vượt đoạn chậm, xuất hiện tình huống tương tự như trong nghịch lý ''Sân vận động''. Chỉ cần hình dung có một đoạn thẳng bất động nằm dọc theo đường thẳng mà ta đang xét (đường chạy) để chỉ ra rằng cái bộ phận bằng cái toàn thể.
1. Giả sử không gian liên tục và thời gian lượng tử hoá.
Khi ấy quãng đường mà trên đó Achilles đang đuổi theo con rùa có thể chia nhỏ thành vô số đoạn, và nếu để chuyển dời từ đoạn này sang đoạn khác cần ít nhất là một lượng tử thời gian thì thời gian tổng cộng sẽ vô cùng lớn, giống như trong nghịch lý ''Phép phân đôi''.
3. Giả sử thời gian liên tục và không gian lượng tử hoá.
Tiếc thay trong trường hợp này thất bại đang chờ ta ở mỗi thời điểm, Achilles (cũng như rùa) sẽ chiếm một lượng tử không gian nhất định. Để chuyển dịch sang ô bên cạnh chàng cần một khoảng thời gian nhất định bởi lẽ bước chuyển không thể xảy ra ngay lập tức. Nảy sinh một câu hỏi không thể trả lời được là Achilles đang ở đâu khi mà chàng đã rời khỏi một ô nhưng chưa tới được ô lân cận? Thời gian ta đang xét là không gián đoạn kia mà! Kết cục là Achilles không những không thể đuổi kịp được con rùa mà nói chung là chàng không thể nhúc nhích khỏi vị trí ban đầu, cũng như con rùa hay bất cứ một vật thể nào khác.
4. Giả sử không gian và thời gian đều liên tục và do đó có thể chia nhỏ vô hạn.
Ta hãy hình dung một đường thẳng trên đó có hai điểm đang chuyển động là điểm A (Achiltes) và điểm R (rùa). Tại thời điểm đầu khoảng cách giữa chúng là 1. Do vận tốc của Achilles VA lớn hơn vận tốc của rùa Vr nên chàng sẽ đuổi kịp rùa sau thời gian to= l/(Va - Vr). Trên thực tế quả đúng là như vậy, nhưng về lý thuyết đã xuất hiện một trở ngại căn bản liên quan đến khái niệm vận tốc. Vậy vận tốc là gì? Ta cứ tạm cho rằng người Hi Lạp đã đồng ý với định nghĩa vận tốc là tỷ số giữa quãng đường với thời gian cần để đi hết quãng đường đó. Quãng đường luôn nối liền hai điểm nằm cách nhau. Từ đó suy ra vận tốc tà một khái niệm liên quan đến hai điểm của không gian. Nhưng nếu thế thì làm sao có thể nói đến vận tốc tại một điểm cụ thể? Ngay cả khi ta lấy những khoảng thời gian nhỏ dần mà ứng với chúng là những quãng đường ngắn dần thì hai điểm khác nhau vẫn luôn khác nhau. Và như vậy thì không thể nói đến vận tốc, cũng có nghĩa là không thể nói đến chuyển động tại một điểm. Vấn đề vẫn như cũ là không thể nào hiểu được làm sao mà một điểm lại có thể chuyển động được ở nơi mà nó đang hiện diện. Lại nảy sinh khó khăn đã từng ghi nhận được trong apori “Mũi tên bay”.
Ngoài ra, do không gian và thời gian có thể chia nhỏ vô hạn nên về mặt lôgic ta thường xuyên phải giải cùng một bài toán (con rùa luôn ở phía trước một chút, còn Achilles đang đuổi theo nó) và ta hoàn toàn không tiến thêm được bước nào trong việc tìm ra lời giải. Vậy là ta lại rơi vào tình huống tựa hồ như một ''cái vòng luẩn quẩn'' về mặt lôgic.
Thực vậy, ta hãy hình dung rằng mỗi lần chạy qua các điểm R1 và R2 mà tại đó con rùa vừa lưu trú Achilles đều đếm thầm: một, hai v.v... Đến một lúc nào đó, sau một khoảng thời gian hữu hạn t0, quá trình đếm sẽ kết thúc và chúng ta có thể hỏi Achilles xem con số cuối cùng mà chàng vừa gọi tên là gì. Thế nhưng đến đây thì ta vấp phải một nghịch lý: không có con số cuối cùng trong dãy số vừa đếm (do chỗ dãy số tự nhiên là một tập hợp nhiều vô hạn), trong khi lẽ ra phải có con số đó vì quá trình đếm dẫu sao thì cũng đã kết thúc!
Hai nhà toán học xuất sắc D. Hilbert và P.Bemice đã nhận xét như sau về nghịch lý Zenon: ''Thông thường người ta tìm cách tránh nghịch lý này bằng lập luận tổng của vô số những khoảng thời gian nhỏ dần như vậy dù sao thì cũng hội tụ và như vậy sẽ cho ta một quãng thời gian hữu hạn. Tuy vậy lập luận trên đây lại tuyệt nhiên không hề đả động đến một điều nghịch lý cốt yếu là một chuỗi vô hạn nào đó của các sự kiện nối tiếp nhau mà kết cục của nó thậm chí chúng ta cũng không thể hình dung được, trên thực tế dù thế nào cũng phải kết thúc''.
Noi theo Aristotle, nhiều khi người ta coi các apori là một ''lối ngụy biện khéo léo'', một kiểu đánh đố lôgic. Nhưng đúng hơn cả thì phải nói rằng apori thuộc về một trong số những vấn đề muôn thuở mà việc giải quyết chúng mặc dầu có thúc đẩy sự tiến bộ của nhận thức nhưng tất yếu sẽ dẫn đến những câu hỏi và nghịch lý mới mẻ và sâu xa hơn. Chẳng hạn như sự suy tưởng về các nghịch lý đã góp phần giúp con người tạo ra giải tích toán học, nhưng việc luận giải môn toán này dựa vào lý thuyết hàm số và lý thuyết tập hợp lập tức mở ra vô số những nghịch lý mới. Các apori đã đóng vai trò nhất định trong cuộc cách mạng vật lý thế kỷ XX, và điều hoàn toàn có thể xảy ra là sang thế kỷ XXI ý nghĩa của chúng lại càng quan trọng hơn đối với vật lý.
